Arccos einer Komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie: ( Ergebnis bitte in der Form a + bi )
arccos(1,318) |
Hallo zusammen,
ich habe überhaupt keine Ahnung wie man diese Aufgabe löst und habe es bisher nur mit der Formel von Wikipedia versucht: http://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus#Komplexe_Argumente
Laut dieser Formel kommt bei mir folgendes dabei heraus:
arccos(1,318) = [mm] \bruch{\pi}{2}-arcsin(1,318)
[/mm]
arcsin(1,318) = [mm] \bruch{1}{2}arccos(\wurzel{(1,318^2+0^2-1^2)^2+4*0^2}-(1,318^2+0^2)) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
arccos(1,318) = [mm] \bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2} [/mm] = 0
Da ich allerdings die Lösung dieser Aufgabe habe, soll hierbei 0,7777i rauskommen. Wie kommt man nun zu diesen Ergebnis?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Do 28.03.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie: ( Ergebnis bitte in der Form a + bi )
> arccos(1,318)
> Hallo zusammen,
>
> ich habe überhaupt keine Ahnung wie man diese Aufgabe
> löst und habe es bisher nur mit der Formel von Wikipedia
> versucht:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus#Komplexe_Argumente
> Laut dieser Formel kommt bei mir folgendes dabei heraus:
> arccos(1,318) = [mm]\bruch{\pi}{2}-arcsin(1,318)[/mm]
> arcsin(1,318) =
> [mm]\bruch{1}{2}arccos(\wurzel{(1,318^2+0^2-1^2)^2+4*0^2}-(1,318^2+0^2))[/mm]
Leider hast Du den 2. Teil der Formel weggelassen.
Es geht weiter mit:
[mm] $+i*\bruch{\mbox{sgn}b}{2}*arcosh\left(\wurzel{(a^2+b^2-1)^2+4*b^2}+(a^2+b^2)\right)$
[/mm]
Dann bekommst Du auch einen Imaginärteil der Lösung.
(Der Realteil ist Null.)
> = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> arccos(1,318) = [mm]\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2}[/mm] = 0
>
> Da ich allerdings die Lösung dieser Aufgabe habe, soll
> hierbei 0,7777i rauskommen. Wie kommt man nun zu diesen
> Ergebnis?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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> Leider hast Du den 2. Teil der Formel weggelassen.
> Es geht weiter mit:
>
> [mm]+i*\bruch{\mbox{sgn}b}{2}*arcosh\left(\wurzel{(a^2+b^2-1)^2+4*b^2}+(a^2+b^2)\right)[/mm]
>
> Dann bekommst Du auch einen Imaginärteil der Lösung.
> (Der Realteil ist Null.)
>
> > = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> > arccos(1,318) = [mm]\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2}[/mm] = 0
> >
> > Da ich allerdings die Lösung dieser Aufgabe habe, soll
> > hierbei 0,7777i rauskommen. Wie kommt man nun zu diesen
> > Ergebnis?
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
> meili
Das stimmt, aber da b=0 ist, ist auch der zweite Teil der Lösung gleich 0. Denn wenn ein Faktor 0 ist, ist das ganze Produkt 0. Und sgn b = 0.
Oder verstehe ich hier etwas falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Do 28.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Leider hast Du den 2. Teil der Formel weggelassen.
> > Es geht weiter mit:
> >
> >
> [mm]+i*\bruch{\mbox{sgn}b}{2}*arcosh\left(\wurzel{(a^2+b^2-1)^2+4*b^2}+(a^2+b^2)\right)[/mm]
> >
> > Dann bekommst Du auch einen Imaginärteil der Lösung.
> > (Der Realteil ist Null.)
> >
> > > = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> > > arccos(1,318) = [mm]\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2}[/mm] = 0
> > >
> > > Da ich allerdings die Lösung dieser Aufgabe habe, soll
> > > hierbei 0,7777i rauskommen. Wie kommt man nun zu diesen
> > > Ergebnis?
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
> > Gruß
> > meili
>
> Das stimmt, aber da b=0 ist, ist auch der zweite Teil der
> Lösung gleich 0. Denn wenn ein Faktor 0 ist, ist das ganze
> Produkt 0. Und sgn b = 0.
> Oder verstehe ich hier etwas falsch?
Hallo MrItalian,
willst Du den Arcuscosinus der als Dezimalbruch gegebenen reellen Zahl 1,318 bestimmen oder der komplexen Zahl 1+i*318? Im ersten Fall ist [mm] $\arcsin [/mm] (1,318)$ keinesfalls [mm] $\pi/2$, [/mm] da [mm] $\sin \pi/2 [/mm] = 1$ ist. Die Formel in Wikipedia ist grottenfalsch!
Gruß,
Wolfgang
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> Hallo MrItalian,
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> willst Du den Arcuscosinus der als Dezimalbruch gegebenen
> reellen Zahl 1,318 bestimmen oder der komplexen Zahl
> 1+i*318? Im ersten Fall ist [mm]\arcsin (1,318)[/mm] keinesfalls
> [mm]\pi/2[/mm], da [mm]\sin \pi/2 = 1[/mm] ist. Die Formel in Wikipedia ist
> grottenfalsch!
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
Hi Wolfgang,
ich möchte den Arcuscosinus von der reelen Zahl 1,318 haben, also arcsin(1,318).
Wenn die Formel von Wikipedia falsch ist, woher bekomme ich dann die richtige Formel?
Hat jemand ein Link zu einen Dokument? Oder vielleicht ein Buch in dem das beschrieben ist?
Viele Grüße
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Ich würde einfach die Gleichung
[mm]\cos z = 1{,}318[/mm]
lösen. Mit [mm]\cos z = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i}z} \right)[/mm] wird daraus die quadratische Gleichung
[mm]w^2 - 2{,}636 w + 1 = 0 \ \ \text{mit} \ \ w = \operatorname{e}^{\operatorname{i}z}[/mm]
Mit ihren Lösungen, auf 5 Kommastellen genau berechnet, erhält man
[mm]\operatorname{e}^{\operatorname{i}z} = 0{,}45944 \ \ \text{oder} \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} = 2{,}17656[/mm]
Im 1. Fall folgt:
[mm]\operatorname{i}z = \log 0{,}45944 \ \ \Rightarrow \ \ z = - \operatorname{i} \cdot \log 0{,}45944[/mm]
Und im 2. Fall:
[mm]\operatorname{i}z = \log 2{,}17656 \ \ \Rightarrow \ \ z = - \operatorname{i} \cdot \log 2{,}17656[/mm]
Solange kein spezieller Zweig des komplexen Arcuscosinus vorgegeben ist, ist bei den letzten Gleichungen der komplexe Logarithmus mit seiner gesamten Mehrdeutigkeit zu berücksichtigen.
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> Ich würde einfach die Gleichung
>
> [mm]\cos z = 1{,}318[/mm]
>
> lösen. Mit [mm]\cos z = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i}z} \right)[/mm]
> wird daraus die quadratische Gleichung
>
> [mm]w^2 - 2{,}636 w + 1 = 0 \ \ \text{mit} \ \ w = \operatorname{e}^{\operatorname{i}z}[/mm]
>
> Mit ihren Lösungen, auf 5 Kommastellen genau berechnet,
> erhält man
>
> [mm]\operatorname{e}^{\operatorname{i}z} = 0{,}45944 \ \ \text{oder} \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} = 2{,}17656[/mm]
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> Im 1. Fall folgt:
>
> [mm]\operatorname{i}z = \log 0{,}45944 \ \ \Rightarrow \ \ z = - \operatorname{i} \cdot \log 0{,}45944[/mm]
>
> Und im 2. Fall:
>
> [mm]\operatorname{i}z = \log 2{,}17656 \ \ \Rightarrow \ \ z = - \operatorname{i} \cdot \log 2{,}17656[/mm]
>
> Solange kein spezieller Zweig des komplexen Arcuscosinus
> vorgegeben ist, ist bei den letzten Gleichungen der
> komplexe Logarithmus mit seiner gesamten Mehrdeutigkeit zu
> berücksichtigen.
Vielen Dank soweit. Das müsste soweit auch stimmen, allerdings habe ich in meiner Lösung nur die Lösung von iln(0,45944) = 0,7777i stehen.
Aber es sind jetzt beide Lösungen korrekt oder?
Danke auch an dir Wolfgang und auch an meili.
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Es gibt unendlich viele Lösungen:
[mm]z = 2 \pi k \pm 0{,}77775 \operatorname{i} \, , \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Do 28.03.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo MrItalian,
> ich möchte den Arcuscosinus von der reelen Zahl 1,318
> haben, also arcsin(1,318).
> Wenn die Formel von Wikipedia falsch ist, woher bekomme
> ich dann die richtige Formel?
> Hat jemand ein Link zu einen Dokument? Oder vielleicht ein
> Buch in dem das beschrieben ist?
Näheres zur Umkehrung des komplexen Cosinus findest Du in dieser
Matheraum-Diskussion.
In Königsberger, Analysis 1, Kapitel 8, "Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen" findest Du Erhellendes zu komplexen Funktionen und den Hauptzweigen ihrer Umkehrungen. Das Schöne an dieser Darstellung ist, daß sie mit sehr wenigen sehr elementaren Begriffen auskommt. Sie setzt weder den abstrakten metrischen Raum, noch die Differential- und Integralrechnung oder gar die Funktionentheorie voraus.
liebe Grüße,
Wolfgang
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