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Archimedische Eigenschaft: Aufgabenansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Di 20.04.2010
Autor: Tsetsefliege

Aufgabe
Sei [mm] k\in \mathbb [/mm] N. Zeigen Sie: es existiert ein [mm] n_{1}\in\mathbb [/mm] N so, dass
[mm] \forall n\geq n_{1}:(n-k)\geq (\frac{n}{2} [/mm] ). Insbesondere ist dann auch
[mm] (n-k)^{k+1} \geq (\frac{n}{2} )^{k+1} [/mm]  

Ich bräuchte bitte eine kleine Starthilfe bei diesem Beispiel. Das "größer-gleich" zwischen (n-k) und dem Bruch sollte ein "größer-als" sein. Ich bedanke mich schon einmal im voraus.

        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Di 20.04.2010
Autor: reverend

Hallo Tsetse,

das geht doch mit zwei Äquivalenzumformungen:

|*2
|+k-n

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Sa 24.04.2010
Autor: Tsetsefliege

Nach diesen beiden Äquivalenzumformungen erhalte ich folgendes:

[mm] 2*n-2*k\ge [/mm] n

[mm] 2n-2k+k-n\ge [/mm] n+k-n

[mm] n-k\ge [/mm] k

n [mm] \ge [/mm] 2k

Bezug
                        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Sa 24.04.2010
Autor: leduart

Hallo,
wie muss du also n1 wählen?
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Sa 24.04.2010
Autor: Tsetsefliege

[mm] n_{1} \ge [/mm] 2k

[mm] n\gen_{1}\ge2k [/mm] => [mm] n\ge2k [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Sa 24.04.2010
Autor: leduart

Hallo
ja, wähl besser ein festes n1=2k oder 2k+1
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Sa 24.04.2010
Autor: Tsetsefliege

Ok, Danke für deine Hilfe. Für k+1 schaut das ganze dann so aus:

[mm] (n-k)^{k+1}\ge(\bruch{n}{2})^{k+1} [/mm]

[mm] (n-k)^{k}*(n-k)\ge(\bruch{n}{2})^{k}*\bruch{n}{2} [/mm]

Jetzt muss man zeigen:

1.) [mm] (n-k)^{k}\ge(\bruch{n}{2})^{k} [/mm] Folgt aus obigem Beweis.
2.) [mm] (n-k)\ge(\bruch{n}{2}) [/mm] => Haben wir bereits beweisen

Vorraussetzung ist jedoch, dass [mm] (n-k)\in [/mm] der natürlichen Zahlen ist.

Bezug
                                                        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 Sa 24.04.2010
Autor: leduart

Hallo
was war jetzt die Frage?
du hast das ja als Induktionsbeweis schon praktisch gemcht.
Gruss leduart

Bezug
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