matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationArcustangens-Umformung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Integration" - Arcustangens-Umformung
Arcustangens-Umformung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Arcustangens-Umformung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Do 11.06.2015
Autor: Laura22

Hallo zusammen,
ich verzweifle gerade bei einer Umformung. In einem Anfänger-Buch von mir steht, dass man "leicht" die folgende Identität beweisen kann:

[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{k^2 y'(x)}{{k^2 - y^2(x)}} dx} [/mm] = k [mm] \left( (b - a) + log(\bruch{y(b) + k}{y(a) + k})\right) [/mm] mit y:[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1] stetig differenzierbar.

Ich bin zu dem folgenden Punkt gekommen:

[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{k^2 y'(x)}{{k^2 - y^2(x)}} dx} [/mm] = [mm] \left[ k^2*\bruch{arctan(\bruch{y(x)}{k})}{k}\right]_{a}^{b}= \left[k \cdot arctan(\bruch{y(x)}{k})\right]_{a}^{b}= [/mm] k [mm] \cdot \left( arctan(\bruch{y(b)}{k}) - arctan(\bruch{y(a)}{k})\right) [/mm]

Nun weiß ich beim besten Willen nicht weiter...wie kommt man bloß auf die Logarithmusdarstellung...wäre großartig, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet. Ich habe bei Wikipedia z.B. gelesen, dass man arctan über einen komplexen Logarithmus darstellen kann, aber das klappt auch nicht...

Liebe Grüße,
Laura

        
Bezug
Arcustangens-Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Do 11.06.2015
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  ich verzweifle gerade bei einer Umformung. In einem
> Anfänger-Buch von mir steht, dass man "leicht" die
> folgende Identität beweisen kann:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{k^2 y'(x)}{{k^2 - y^2(x)}} dx}[/mm] = k
> [mm]\left( (b - a) + log(\bruch{y(b) + k}{y(a) + k})\right)[/mm] mit
> y:[0, 1] [mm]\to[/mm] [0, 1] stetig differenzierbar.
>  
> Ich bin zu dem folgenden Punkt gekommen:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{k^2 y'(x)}{{k^2 - y^2(x)}} dx}[/mm] =
> [mm]\left[ k^2*\bruch{arctan(\bruch{y(x)}{k})}{k}\right]_{a}^{b}= \left[k \cdot arctan(\bruch{y(x)}{k})\right]_{a}^{b}=[/mm]
> k [mm]\cdot \left( arctan(\bruch{y(b)}{k}) - arctan(\bruch{y(a)}{k})\right)[/mm]
>  

Das erste = ist schon falsch ! Leite mal

   [mm] k^2*\bruch{arctan(\bruch{y(x)}{k})}{k} [/mm]

ab. Es kommt nicht [mm] \bruch{k^2 y'(x)}{k^2 - y^2(x)} [/mm] raus !


> Nun weiß ich beim besten Willen nicht weiter...wie kommt
> man bloß auf die Logarithmusdarstellung...wäre
> großartig, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet.


Bestimme a und b so, dass

[mm] \bruch{k^2 y'(x)}{k^2 - y^2(x)}=k^2y'(x)*(\bruch{a}{k+y(x)}+\bruch{b}{k-y(x)}) [/mm]
ist.

FRED

>  Ich
> habe bei Wikipedia z.B. gelesen, dass man arctan über
> einen komplexen Logarithmus darstellen kann, aber das
> klappt auch nicht...
>  
> Liebe Grüße,
>  Laura


Bezug
        
Bezug
Arcustangens-Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Do 11.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo Laura,

fred gab dir ja schon einen Hinweis.
Dann noch zu deinem Denkfehler:

1.) Was ist die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{1+x^2}$? [/mm]
2.) Was ist die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{1-x^2}$? [/mm]

Beachte also das unterschiedliche Vorzeichen im Nenner.
Dann wird dir auch klar, wo dein Fehler liegt :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Arcustangens-Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Do 11.06.2015
Autor: Laura22

Ich danke euch beiden! Ich muss jetzt erst einmal die Tipps ausprobieren und poste meine Rechnung später! :)

Bezug
                
Bezug
Arcustangens-Umformung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Do 11.06.2015
Autor: Laura22

Gut, also ich habe nun einmal eure Tipps benutzt und bin mit der Partialbruchzerlegung weiter gekommen:

Bestimme das Integral

[mm] k^2 \int\limits_{a}^{b} \frac{\dot{y}(x)}{(k + y(x)) \cdot (k - y(x))} [/mm] dx

mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung, d.h. finde $A$ und $B$, sodass gilt:

[mm] \frac{1}{(k + y(x)) \cdot (k - y(x))} [/mm] = [mm] \frac{A}{k + y(x)} [/mm] + [mm] \frac{B}{k - y(x)} \Leftrightarrow [/mm] 1 = A(k - y(x)) +B(k + y(x))

und wir erhalten $A$ und $B$ durch Koeffizientenvergleich:

   B - A = 0 [mm] \wedge [/mm] A k + B k = 1 [mm] \text{, d.h. } [/mm] A = B = [mm] \frac{1}{2 k} [/mm]

Also:

[mm] k^2 \int\limits_{a}^{b} \frac{\dot{y}(x)}{(k + y(x)) \cdot (k - y(x))} [/mm] dx

= [mm] \frac{k}{2} \int\limits_{a}^{b} \frac{\dot{y}(x)}{k + y(x)} [/mm] + [mm] \frac{\dot{y}(x)}{k - y(x)} [/mm] dx

= [mm] \frac{k}{2} \left[\log{(k + y(x))} - \log{(k - y(x))}\right]_{a}^{b} [/mm]

= [mm] \frac{k}{2} \log{\frac{y(b) + k}{y(a) + k}} [/mm] - [mm] \log{\frac{k - y(b)}{k - y(a)}} [/mm]

Der linke Log-Ausdruck sieht ja schon so aus wie das, was rauskommen soll, doch wie kommt man nun auf die angegebene Form? Stimmt das bis hierhin überhaupt? Ich danke euch, alleine komme ich da momentan nicht weiter!

Bezug
                        
Bezug
Arcustangens-Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Do 11.06.2015
Autor: rmix22

Die angegebene Lösung gehört vermutlich nicht zu der von dir hier dargestellten Angabe sondern eher zu [mm] $k\cdot\int_a^b{\left(\frac{\dot y(x)}{k+y(x)}+1 \right)dx}=? [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Arcustangens-Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:14 Fr 12.06.2015
Autor: Laura22

Vielen Dank. Ich habe die Aussage so 1:1 abgeschrieben, irgendwie such ich mir immer nur die dummen Beispiele raus...oder ich habe irgendwas davor übersehen...egal, ich danke euch jedenfalls, dass ihr mal drübergeschaut habt. Und so konnte ich wenigstens einmal die Partialbruchzerlegung üben. :)

Bezug
                        
Bezug
Arcustangens-Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Do 11.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

rmix hat ja schon geschrieben, dass die gegebene Lösung falsch ist.
Kannst du auch einfach verifizieren, indem du einfach mal $k=1$ und $y(x)=x$ setzt.

Insbesondere würde nach der gegebenen Lösung [mm] $\int_0^1\bruch{1}{1-x^2}$ [/mm] konvergieren, was es aber nicht tut.

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]