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| Aufgabe | Bestimmen Sie Real - und Imaginaerteil der folgenden komplexen Zahl:
w = [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}i)^39 [/mm] |
Hallo,
ich wollte so eine Aufgabe mal komplett durchkauen und habe mich zusaetzlich noch an das Argument "gewagt".
Angefangen habe ich mit dem Betrag von w:
|w| = 1;
Danach der Winkel [mm] \alpha [/mm] (der eingeschlossene Winkel zwischen Realachse und Strich vom Nullpunkt zum Punkt von Real und Imaginaerteil):
tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}\wurzel{3}}
[/mm]
<=> [mm] arctan(\bruch{1}{\wurzel{3}}) [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
Damit laesst sich durch die Moivresche Formel der Real und Imaginaerteil bestimmen:
w^39 = 1^39(cos(39 * [mm] arctan(\bruch{1}{\wurzel{3}}))) [/mm] + (isin (39 * [mm] arctan(\bruch{1}{\wurzel{3}}))) [/mm] = i
=> Re z = 0; Im = 1
Soweit richtig?
Jetzt gehts ums Argument. Folgenden Ansatz habe ich mir ueberlegt: Da der Winkel /alpha genau 30° ergibt und das im Bogenmaß:
[mm] \bruch{2*30*pi}{360} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{6}
[/mm]
Richtig? Muss ich wegen der Potenz die ganze Geschichte mit [mm] \bruch{1}{36} [/mm] multiplizieren oder wie genau funktioniert das jetzt? Das waere meine erste Frage.
Was genau ist denn jetzt der Betrag von w? Ist das |w| = 1 oder |w| = 1^39 (aus Moivre abgeleitet) (<-- war das nicht der Radius???) oder ist es [mm] 1^\bruch{1}{39} [/mm] (also die 39. Wurzel)?
Waere nett wenn mir jemand helfen koennte  .
MFG Tim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 So 28.12.2008 | | Autor: | Dath |
Hallo,
wie du richtig festgestellt hast, ist der betrag deiner Zahl 1, d.h, sie liegt auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene. Wie du auf [mm]1^{\bruch{1}{39}}[/mm] kommen willst, verstehe ich nicht, du hast doch ganz richtig am Anfang geschrieben, indem du die 39-te Potenz der Zahl berechnet hast, [mm]1^{39}[/mm].
Ach ja, wenn du die Wurzel berechnen wollen würdest, dann lägen sie allesamt auch auf dem Einheitskreis, aber du würdest insgesamt 39 Lösungen erhalten, auch wenn das jetzt nichts mit deiner Frage zu tun hat.
Deine Bogenmaßrechnung stimmt, vielleicht hilft dir, dass [mm]\pi 180°[/mm] entspricht.
Kurz: Du leitest es aus der Moivre-Formel ab.
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