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| Aufgabe | Wir betrachten die beiden Folgen [mm]a_i[/mm] und [mm]b_i[/mm] die ausgehend von zwei reellen Zahlen [mm]a_0:=a>0[/mm] und [mm]b_0:=b>0[/mm] rekursiv definiert sind durch:
[mm]
a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}[/mm]
[mm]b_{n+1}=(a_n \cdot b_n)^{\frac{1}{2}}
[/mm]
Zeige: [mm]a_n - b_n[/mm] ist eine Nullfolge.
Hinweis: Setze in die Rekursionsformeln [mm]a_n-b_n[/mm] ein, dann Induktion. |
Ich stehe gerade leicht auf dem Schlauch.
Außerdem ist bereits bekannt, dass [mm]a_n > b_n \forall n \in \IN[/mm]
Was muss ich eigentlich noch zeigen? Nach unten beschränkt durch 0 und monoton fallend?
Ich würd's so versuchen:
Monotonie:
[mm]
a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}<\frac{a_n+a_n}{2}-\sqrt{b_n\cdot b_n}=a_n-b_n[/mm]
Beschränkt:
[mm]A(n):=a_n-b_n>0[/mm]
Induktionsanfang: (n=0)
[mm]a_0-b_0>0 \Leftrightarrow a_0>b_0 [/mm] (ist ja bereits bekannt)
Induktionsvoraussetzung: Es gelte A(n) für ein [mm]n \in \IN[/mm].
Induktionsschluss: ([mm]n \mapsto n+1[/mm]).
zz: [mm]a_{n+1}-b_{n+1}>0 [/mm]
[mm]a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=...?[/mm]
Ein kleiner Tipp würde mir vermutlich schon reichen, ich glaube irgendwie, dass ich falsch angefangen habe.
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Hallo Yggdrasil,
die Anrede "Herr" war wohl zu keiner Zeit für die Weltenesche (oder -eibe) gebräuchlich...
Aber darum gehts ja gerade nicht.
> Wir betrachten die beiden Folgen [mm]a_i[/mm] und [mm]b_i[/mm] die ausgehend
> von zwei reellen Zahlen [mm]a_0:=a>0[/mm] und [mm]b_0:=b>0[/mm] rekursiv
> definiert sind durch:
>
> [mm]
a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}[/mm]
> [mm]b_{n+1}=(a_n \cdot b_n)^{\frac{1}{2}}
[/mm]
>
> Zeige: [mm]a_n - b_n[/mm] ist eine Nullfolge.
> Hinweis: Setze in die Rekursionsformeln [mm]a_n-b_n[/mm] ein, dann
> Induktion.
> Ich stehe gerade leicht auf dem Schlauch.
>
> Außerdem ist bereits bekannt, dass [mm]a_n > b_n \forall n \in \IN[/mm]
Ach ja. Woher? (Heißt nicht, dass die Beobachtung falsch ist!)
> Was muss ich eigentlich noch zeigen? Nach unten beschränkt
> durch 0 und monoton fallend?
Das reicht nicht. Dann könnte die Folge z.B. immer noch gegen 0,173 streben.
> Ich würd's so versuchen:
>
> Monotonie:
>
> [mm]
a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}<\frac{a_n+a_n}{2}-\sqrt{b_n\cdot b_n}=a_n-b_n[/mm]
Ok.
> Beschränkt:
>
> [mm]A(n):=a_n-b_n>0[/mm]
>
> Induktionsanfang: (n=0)
> [mm]a_0-b_0>0 \Leftrightarrow a_0>b_0[/mm] (ist ja bereits
> bekannt)
Nein. Das hieße a>b, und das ist weder vorausgesetzt noch nötig.
Besser, Du fängst mit [mm] a_1 [/mm] und [mm] b_1 [/mm] an.
> Induktionsvoraussetzung: Es gelte A(n) für ein [mm]n \in \IN[/mm].
Wenn $A(n)$ nicht für eine Variable (einen Zahlenwert), sondern für eine Aussage steht, dann fehlen oben noch Klammern.
> Induktionsschluss: ([mm]n \mapsto n+1[/mm]).
>
> zz: [mm]a_{n+1}-b_{n+1}>0[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=...?[/mm]
>
> Ein kleiner Tipp würde mir vermutlich schon reichen, ich
> glaube irgendwie, dass ich falsch angefangen habe.
Du hast nicht gerade die Hilfestellung der Aufgabe ausgenutzt, aber es geht auch so. An der Stelle des Fragezeichens muss hier ein <-Zeichen stehen, und rechts davon musst Du natürlich die Induktionsvoraussetzung verwursten.
Nur, wie gesagt, reicht hier die Kombination aus Monotonie und dem Nachweis von 0 als unterer Schranke nicht.
Du müsstest dann schon zeigen, dass 0 hier das Infimum der Folge ist - was am besten über das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] geht.
Denk nochmal über die Hilfestellung der Aufgabe nach.
Grüße
reverend
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