Art von stationären Punkten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 So 15.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Gesucht sind die stationären Punkte von $f(x,y) = x^2y$. Untersuchen Sie weiterhin, ob es sich um ein Mnimum oder Maximum handelt.
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Hoi.
Die Art der Extrema macht mich fertig.
Erst einmal ist $f'(x,y) = [mm] (2xy,x^2)$
[/mm]
Gibt also nur Lösungen für x=0 somit ist (0,y) zu untersuchen
Nun möchte ich das ganze mit der Hessematrix prüfen, falls das überhaupt geht
$df / dx = 2xy$
$d^2f / [mm] dx^2 [/mm] = 2y$
$df / dy = [mm] x^2$
[/mm]
$d^2f / [mm] dy^2 [/mm] = 0$
$df / dxdy = 2x$
$df / dydy = 2x$
Hesse Matrix ist somit doch
[mm] $\pmat{ 2y & 2x \\ 2x & 0 }$
[/mm]
Für (0,y) nun [mm] $\vmat{ 2y-t & 0 \\ 0 & -t }$
[/mm]
$(2y-t)(-t) = [mm] t^2 [/mm] - 2yt = 0$
[mm] $t_{1,2}= [/mm] 1y [mm] \pm \sqrt{y}$
[/mm]
[mm] $t_1 [/mm] = 2y$
[mm] $t_2 [/mm] = 0$
Die Hessematrix funktioniert hier nicht oder was ist falsch???
Gruß
Wehm
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> Gesucht sind die stationären Punkte von [mm]f(x,y) = x^2y[/mm].
> Untersuchen Sie weiterhin, ob es sich um ein Mnimum oder
> Maximum handelt.
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> Hoi.
>
> Die Art der Extrema macht mich fertig.
>
> Erst einmal ist [mm]f'(x,y) = (2xy,x^2)[/mm]
>
> Gibt also nur Lösungen für x=0 somit ist (0,y) zu
> untersuchen
>
> Nun möchte ich das ganze mit der Hessematrix prüfen, falls
> das überhaupt geht
>
> [mm]df / dx = 2xy[/mm]
> [mm]d^2f / dx^2 = 2y[/mm]
> [mm]df / dy = x^2[/mm]
> [mm]d^2f / dy^2 = 0[/mm]
>
> [mm]df / dxdy = 2x[/mm]
>
> [mm]df / dydy = 2x[/mm]
>
> Hesse Matrix ist somit doch
>
> [mm]\pmat{ 2y & 2x \\ 2x & 0 }[/mm]
>
> Für (0,y) nun [mm]\vmat{ 2y-t & 0 \\ 0 & -t }[/mm]
>
> [mm](2y-t)(-t) = t^2 - 2yt = 0[/mm]
>
> [mm]t_{1,2}= 1y \pm \sqrt{y}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was soll denn das hier?
>
> [mm]t_1 = 2y[/mm]
> [mm]t_2 = 0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Hessematrix funktioniert hier nicht oder was ist
> falsch???
Du hast m.E. richtig gerechnet: aber in diesem Falle ist in der Tat eine Entscheidung alleine anhand der Hesse-Matrix nicht möglich: weil einer der Eigenwerte der Hessematrix 0 ist. Es ist auch klar woher der Eigenwert [mm] $t_2=0$ [/mm] kommt: die $y$-Achse, d.h. die Menge der Punkte $(0,y)$ die Du betrachtest, liegt ja voll in der Fläche $z=x^2y$ drin.
Du hast in dieser Situation zwei Möglichkeiten: entweder Du untersuchst nun höhere Ableitungen der Funktion (mühsam, mühsam!) oder Du versuchst aufgrund der relativ einfachen Form der Funktion ein mehr algebraisches Argument für die genauere Klassifikation dieser stationären Punkte der Form $(0,y)$ zu finden. Der Faktor [mm] $x^2$ [/mm] ist ja, wenn er nicht gerade $0$ ist, immer positiv. Nun bewegst Du Dich, ausgehend von einem der stationären Punkte $(0,y)$ ein klein wenig in Richtung $y$-Achse: der Funktionswert ändert sich nicht, er bleibt 0. Dann bewegst Du Dich, statt dessen, ein klein wenig in Richtung der $x$-Achse [mm] ($\pm$: [/mm] ganz gleich): dann wird der Funktionswert in jedem Falle grösser, falls $y>0$, bzw. kleiner, falls $y<0$. - Also? - Also.
Bleibt noch der stationäre Punkt $(0,0)$ zu klassifizieren: aber der hängt, mittels Bewegung in Richtung $y$-Achse, auf der ja für alle stationären Punkte der Funktionswert $0$ ist, mit allen anderen stationären Punkten zusammen.
Also gibt es keine Extrema. Beziehungsweise, vorsichtiger formuliert: es gibt keine Punkte, in denen die Funktion einen lokal grössten oder lokal kleinsten Wert annimmt. Sie nimmt aber in einer genügend kleinen Umgebung eines Punktes $(0,y)$ mit $y>0$, keinen kleineren, bzw. in einer genügend kleinen Umgebung eines Punktes $(0,y)$ mit $y<0$ keinen grösseren Wert an...
$(0,0)$ könnte man m.E. als Sattelpunkt bezeichnen. - Ob man die anderen stationären Punkte ebenfalls als Sattelpunkte bezeichnen darf, ist mir im Moment nicht klar.
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