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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Fr 17.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | In einem Ring heißen zwei Element assoziiert, falls a=bu mit u [mm] \in R^x
[/mm]
Sind a und b assoziiert, so gilt aR=bR |
Hallo Leute,
Erstmal eine kurze Verständnis Frage, wenn der [mm] R=\IZ [/mm] ist, dann sind a und b doch nur assoziiert, wenn a und b 1 bzw. -1 sind oder? Eine andere Möglichkeit gibt es doch nicht, richtig?
Außerdem bräuchte ich eine Erklärung zu dem zweiten Satz, den verstehe ich nicht, ich nehme an, dass das etwas mit Nebenklassen zu tun hat. Ein Beispiel wäre klasse!
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nicht ganz. Beobachtung: Die Einheiten in [mm] \IZ [/mm] sind 1 und -1.
Nimm dir jetzt mal eine ganze Zahl a. Dann ist a zu 1*a=a und zu (-1)*a=-a assoziiert.
Zur zweiten Frage: [mm] aR=\{ar|r\in R\}. [/mm] Sind a und b assoziiert gibt es ein [mm] $u\in R^\times$ [/mm] mit a=bu.
Nun nimm einfach mal ein Element aus aR. Dieses hat die Form ar mit r [mm] \in [/mm] R. Nun gilt aber ar=(bu)r=b(ur)=br' mit [mm] $r'\in [/mm] R$, d.h. ar [mm] \in [/mm] bR.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 17.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, sehe ich ein, aber b kann z.B. nicht 3 sein, da 3 ja keine Einheit in [mm] \IZ [/mm] hat oder?
2. Frage habe ich verstanden, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Teufel |
a und b können alles sein, solange nur a=bu gilt, was äquivalent zu av=b ist, wenn uv=1 gilt. Speziell in [mm] \IZ [/mm] kann deswegen b auch gerne 3 sein. Zum Beispiel 3=3*1 oder -3=3*(-1).
Außerdem ist stets jedes Element zu sich selbst assoziiert, in jedem Ring. Eben wegen a=a*1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 17.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, ich seh's ein, u ist aber fest sozusagen, sprich 1 oder -1, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Teufel |
In [mm] \IZ [/mm] schon, ja. Hier ist ein beliebiges Element a immer zu sich selbst (wie in jedem Ring) und zu -a assoziiert. Also 5 ist zu 5 und -5 assoziiert usw.
Wenn du z.B. [mm] R=\IR[X] [/mm] nimmst, dann sind die Einheiten dort [mm] R^\times=\IR\backslash \{0\} [/mm] (weil man nur die konstanten Polynome außer dem Nullpolynom invertieren kann).
Hier ist ein Polynom p zu genau jedem Polynom der Form rp assoziiert mit r [mm] \in \IR\backslash \{0\}. [/mm] Also ist [mm] X^2+X+1 [/mm] zu [mm] 2*X^2+2*x+2 [/mm] assoziiert, oder X zu [mm] \frac{1}{2}X.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Fr 17.08.2012 | | Autor: | AntonK |
X hat doch aber z.B. keine Einheit oder, weil ich doch kein [mm] X^{-1} [/mm] habe oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Nochmal etwas zu den Begriffen: Dass X keine Einheit hat, macht keinen Sinn. Die Elemente aus einem Ring selbst sind Einheiten!
Nochmal die Definition einer Einheit: [mm] $u\in [/mm] R$ heißt Einheit, wenn es ein [mm] $v\in [/mm] R$ gibt mit $uv=1$. X ist keine Einheit in [mm] \IR[X], [/mm] weil es kein Element p(X) gibt mit X*p(X)=1, das stimmt. In [mm] \IR[X] [/mm] sind die Einheiten genau alle konstanten Polynome außer dem Nullpolynom. In [mm] \IZ [/mm] und [mm] \IZ[X] [/mm] sind die Einheiten 1 und -1. In [mm] \IZ[i] [/mm] sind die Einheiten 1, -1, i und -i. Einheiten sind also einfach die Dinger in den Ringen, die man multiplikativ invertieren kann.
Nun zum Begriff der Assoziiertheit. 2 Elemente a,b aus einem Ring R heißen assoziiert, wenn sie "nur um eine Einheit auseinander liegen". Also $a=bu$ mit $u [mm] \in R^\times$. [/mm] Dafür müssen a und b selbst keine Einheiten sein. Wie in [mm] \IZ, [/mm] wo a und b gerne auch 3 sein dürfen. Die Hauptsache ist, dass sich a aus b gewinnen lässt, indem man einfach eine Einheit dranknallt. Oder umgedreht kann sich b auch aus a durch Multiplikation aus einer Einheit ergeben, wegen a=bu [mm] \gdw [/mm] av=b mit uv=1.
Alles klar soweit? Und weil z.B. [mm] \frac{1}{2} [/mm] eine Einheit in [mm] \IR[X] [/mm] ist (wegen [mm] \frac{1}{2}*2=1) [/mm] ist X zu [mm] \frac{1}{2}X [/mm] assoziiert [mm] (\underbrace{\frac{1}{2}X}_{=a}=\underbrace{\frac{1}{2}}_{=u}*\underbrace{X}_{=b}).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Fr 17.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Liest sich gut, ist verständlich, keine weiteren Fragen mehr, vielen Dank!
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