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| Aufgabe | H20. Die Bahnkurve eines (Peripherie-)Punktes auf dem Rand eines Kreises, der in der Ebene [mm] $\IR^2$ [/mm] im Inneren
eines festen Kreises von vierfachem Radius abrollt, wird eine Astroide genannt.
a) Zeigen Sie: Wenn der feste Kreis der Einheitskreis um den Nullpunkt ist und wenn zu Beginn [mm] ($\phi [/mm] = 0$)
der Peripherie-Punkt des rollenden Kreises gleich $(1; 0)$ ist, wird die Bahn der Astroiden modelliert
durch die Gleichung
[mm] $\gamma [/mm] ( [mm] \phi [/mm] ) = ( [mm] \cos^3( \phi [/mm] ); [mm] \sin^3( \phi [/mm] )$
b) Bestimmen Sie die singulären Punkte der Astroiden sowie ihre Länge. |
Um b) gehts mir nicht. Das bekomm ich hin.
Aber a) sorgt für Verständnisprobleme. Ich würde alles verstehen wenn man uns eine Gleichung gegeben hätte. So etwas wie:
$x^(2/3) + y^(2/3) = 1$
Dann könnte ich Zeigen das das Bild der gegebenen Menge mit der Menge der Astroide übereinstimmt. Aber wir haben ja gar nichts.
Ich musste 3 mal lesen um in der Aufgabe überhaupt die AUFGABE raus zu lesen.
Irgendwie weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll.
Soll ich mir jetzt eine beschreibung einer Astroide im Internet suchen und zeigen das dieses gamma dieser beschreibung genügt? Das kann ja irgendwo nicht sein.
Oder soll ich etwa rein argumentativ beschreiben, weshalb diese Funktion die Astroide beschreibt?
Ich versteh es nicht.
Vielen Dank schon mal für jeden Anhaltspunkt.
Euer Highchiller
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> Die Bahnkurve eines (Peripherie-)Punktes auf dem Rand
> eines Kreises, der in der Ebene [mm]\IR^2[/mm] im Inneren
> eines festen Kreises von vierfachem Radius abrollt, wird
> eine Astroide genannt.
> a) Zeigen Sie: Wenn der feste Kreis der Einheitskreis um
> den Nullpunkt ist und wenn zu Beginn ([mm]\phi = 0[/mm])
> der
> Peripherie-Punkt des rollenden Kreises gleich [mm](1; 0)[/mm] ist,
> wird die Bahn der Astroiden modelliert
> durch die Gleichung
> [mm]\gamma ( \phi ) = ( \cos^3( \phi )\,|\, \sin^3( \phi ))[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie die singulären Punkte der Astroiden sowie
> ihre Länge.
> Um b) gehts mir nicht. Das bekomm ich hin.
> Aber a) sorgt für Verständnisprobleme. Ich würde alles
> verstehen wenn man uns eine Gleichung gegeben hätte. So
> etwas wie:
> [mm]x^{(2/3)} + y^{(2/3)} = 1[/mm]
>
> Dann könnte ich zeigen das das Bild der gegebenen Menge
> mit der Menge der Astroide übereinstimmt. Aber wir haben
> ja gar nichts.
> Ich musste 3 mal lesen um in der Aufgabe überhaupt die
> AUFGABE raus zu lesen.
> Irgendwie weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll.
>
> Soll ich mir jetzt eine Beschreibung einer Astroide im
> Internet suchen und zeigen das dieses gamma dieser
> beschreibung genügt? Das kann ja irgendwo nicht sein.
Ja - und das sollte nicht sein.
> Oder soll ich etwa rein argumentativ beschreiben, weshalb
> diese Funktion die Astroide beschreibt?
> Ich versteh es nicht.
>
> Vielen Dank schon mal für jeden Anhaltspunkt.
> Euer Highchiller
Hallo,
mach dir zunächst einmal Zeichnungen. Zuerst für die
Startposition und für die weiteren Positionen, wo der
auf dem inneren Kreis markierte Punkt P (beim Start
gleich dem Berührungspunkt (1|0) ) wieder den
äußeren Kreis berührt.
Dann eine beliebige Position, wo der Berührungspunkt B
den Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] und damit die Koordinaten [mm] (cos(\varphi)\,|\,sin(\varphi)) [/mm]
hat. Mache dir an dieser Zeichnung klar, wie du nun die
Koordinaten des markierten Punktes P durch den Winkel
[mm] \varphi [/mm] ausdrücken kannst. Der Rest sind dann
trigonometrische Umformungen.
LG Al-Chw.
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