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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mo 28.07.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | ich will die Asymptote von f(x) bestimmen
[mm] f(x)=\bruch{3x^3-2x^2-5x+4}{x^2-1} [/mm] |
allgemeine frage: die asymptote einer funktion bestimme ich immer wenn ich die funktion gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse richtig?
[mm] f(x)=\bruch{3x^3-2x^2-5x+4}{x^2-1}=\bruch{x^2(3x-2-\bruch{5}{x}+\bruch{4}{x^2})}{x^2(1-\bruch{1}{x^2})}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3x-2-\bruch{5}{x}+\bruch{4}{x^2}}{1-\bruch{1}{x^2}}=3x-2
[/mm]
3x-2 ist die asymptote
ist die lösung richtig? ein kollege von mir hat gesagt ich muss die polynomdivision anwenden, aber kann ich das auch wie oben machen?
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Hallo,
> ich will die Asymptote von f(x) bestimmen
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> [mm]f(x)=\bruch{3x^3-2x^2-5x+4}{x^2-1}[/mm]
> allgemeine frage: die asymptote einer funktion bestimme
> ich immer wenn ich die funktion gegen [mm]\infty[/mm] laufen lasse
> richtig?
>
> [mm]f(x)=\bruch{3x^3-2x^2-5x+4}{x^2-1}=\bruch{x^2(3x-2-\bruch{5}{x}+\bruch{4}{x^2})}{x^2(1-\bruch{1}{x^2})}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3x-2-\bruch{5}{x}+\bruch{4}{x^2}}{1-\bruch{1}{x^2}}=3x-2[/mm]
Das ergibt doch gar keinen Sinn. Du willst, dass [mm] x\to\infty. [/mm] Doch dann musst du auch alle x in dem Term beachten. Du wählst dir deine x ja willkürlich aus. Das geht natürlich nicht.
>
> 3x-2 ist die asymptote
Das stimmt, auch wenn das Vorgehen/Notation nicht richtig ist.
>
> ist die lösung richtig? ein kollege von mir hat gesagt ich
> muss die polynomdivision anwenden, aber kann ich das auch
> wie oben machen?
Die Polynomdivision wäre ne feine Sache. Du bekommst dann zwei Teile: Zum einen die echten Quotienten und eine Restabbildung. Diese ist für dich unwichtig.
Entscheidend ist nur der lineare Anteil des Quotienten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Di 29.07.2014 | | Autor: | needmath |
> Die Polynomdivision wäre ne feine Sache. Du bekommst dann
> zwei Teile: Zum einen die echten Quotienten und eine
> Restabbildung. Diese ist für dich unwichtig.
> Entscheidend ist nur der lineare Anteil des Quotienten.
bei schiefen asymptoten ( zählergrad > nennergrad) muss ich also die polynomdivision machen oder kann ich die schiefe asymptote auch anders bestimmen?
übrigens habe ich mich an der vorgehensweise an diesem video orientiert (siehe 3:25 min)
https://www.youtube.com/watch?v=khD2jPCsdGI
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Di 29.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Die Polynomdivision wäre ne feine Sache. Du bekommst dann
> > zwei Teile: Zum einen die echten Quotienten und eine
> > Restabbildung. Diese ist für dich unwichtig.
> > Entscheidend ist nur der lineare Anteil des Quotienten.
>
> bei schiefen asymptoten ( zählergrad > nennergrad) muss
> ich also die polynomdivision machen oder kann ich die
> schiefe asymptote auch anders bestimmen?
>
Du hast ja im ersten Posting die Asymptote anders, nämlich durch eine Grenzwertüberlegung bestimmt und das war OK. Richie hat deine Notation moniert.
Im gegebenen Beispiel wäre noch zu beachten, dass bei x=1 eine hebbare Unstetigkeitsstelle vorliegt und bei x=-1 eine senkrechte Asymptote.
RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Di 29.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich will die Asymptote von f(x) bestimmen
>
> [mm]f(x)=\bruch{3x^3-2x^2-5x+4}{x^2-1}[/mm]
> allgemeine frage: die asymptote einer funktion bestimme
> ich immer wenn ich die funktion gegen [mm]\infty[/mm] laufen lasse
> richtig?
Das ist korrekt, wie Richie ja schon bestätigt hat.
>
> [mm]f(x)=\bruch{3x^3-2x^2-5x+4}{x^2-1}=\bruch{x^2(3x-2-\bruch{5}{x}+\bruch{4}{x^2})}{x^2(1-\bruch{1}{x^2})}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3x-2-\bruch{5}{x}+\bruch{4}{x^2}}{1-\bruch{1}{x^2}}=3x-2[/mm]
>
> 3x-2 ist die asymptote
Ja, und auch das Notationsproblem ist auch angesprochen worden.
>
> ist die lösung richtig? ein kollege von mir hat gesagt ich
> muss die polynomdivision anwenden, aber kann ich das auch
> wie oben machen?
Der Weg über die Polynomdivision ist sicherlich der meistgenutzte Weg.
Außerdem hilft die Polynomdivision, wenn man von der Funktion noch Ableitungen oder Stammfunktionen bilden soll, das ist über den "Ausdividierten Funktionsterm" meist leichter zu handhaben.
Hier also
[mm] f(x)=\frac{3x^{3}-2x^{2}-5x+4}{x^{2}-1}=3x-2-\frac{2x-2}{x^{2}-1}
[/mm]
Alternativ hilft evtl auch der scheibare Umweg über die Linearfaktorisierung
[mm] f(x)=\frac{3x^{3}-2x^{2}-5x+4}{x^{2}-1}=\frac{(x-1)^{2}(3x+4)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x-1)(3x+4)}{x+1}=3x-2-\frac{2}{x+1}
[/mm]
Das macht die Polynomdivision einfacher.
Marius
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