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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Asymptote von e-Funktion
Asymptote von e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Asymptote von e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Mi 09.11.2005
Autor: DerVogel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi, kann mir jemand die Asymptote der Funktion
f(x)= ((e ^ -x) - 1) ^2
sagen???
Ich muss die Fläche zw. Graph und Asymptote ausrechnen.
Danke!!

        
Bezug
Asymptote von e-Funktion: Umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mi 09.11.2005
Autor: Loddar

Hallo DerVogel,

[willkommenmr] !!


Ich denke mal, Du meinst die Asymptote für $x [mm] \rightarrow \red{+}\infty$ [/mm] , oder?


Schreiben wir mal Deine Funktionsvorschrift etwas um. Vielleicht siehst Du es dann selber:


$f(x) \ = \ [mm] \left(e^{-x}-1\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{e^x}-1\right)^2$ [/mm]


Es gilt ja: [mm] $\limes_{x\rightarrow +\infty}e^x [/mm] \ = \ [mm] +\infty$ [/mm] .

Daraus folgt dann: [mm] $\limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{1}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$

(Der Ausdruck [mm] $\bruch{1}{\infty}$ [/mm] ist natürlich nur in Anführungszeichen zu sehen ;-) ...)


Was bedeutet das nun für Deinen gesuchten Grenzwert bzw. Deine gesuchte Asymptote?


Zur weiteren Veranschaulichung noch eine kleine Skizze:

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Asymptote von e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Fr 11.11.2005
Autor: DerVogel

Die Asymptote erhalte ich durch ausmultiplizieren, aber die Fläche zw. Asymptote und der FUnktion ist doch [mm] \infty [/mm] oder nicht?

Bezug
                        
Bezug
Asymptote von e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Fr 11.11.2005
Autor: Zwerglein

Hi, DerVogel,

> Die Asymptote erhalte ich durch ausmultiplizieren,

Jedenfalls: Die Asymptote hat die Gleichung y=1.

> aber die
> Fläche zw. Asymptote und der FUnktion ist doch [mm]\infty[/mm] oder
> nicht?

Hier nicht!
Obwohl die Fläche nach rechts unbegrenzt ist, hat sie einen endlichen Flächeninhalt!
Das kannst Du Dir anschaulich so erklären, dass die "Höhe" schneller gegen Null geht als die "Breite" gegen Unendlich!

Rechnerisch:
Zuerst bestimmst Du die linke Grenze des Integrals durch Gleichsetzen von Funktionsterm und Asymptote. Ergebnis: x=-ln(2)

Nun musst Du berechnen:

[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{-ln(2)}^{b} [/mm] {(1 - f(x)) dx}

= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{-ln(2)}^{b} {(2e^{-x} - e^{-2x}) dx} [/mm]

= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}[-2e^{-x}+0,5*e^{-2x}]_{-ln(2)}^{b} [/mm]

= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}[-2e^{-b}+0,5*e^{-2b}] [/mm] - [mm] (-2e^{ln(2)}+0,5*e^{2ln(2)} [/mm]

Der erste Teil geht (analog zu Loddars Ausführungen) wieder gegen 0.

Übrig bleibt demnach: [mm] 2e^{ln(2)}-0,5*e^{2ln(2)} [/mm]
Bedenke nun, dass [mm] e^{ln(2)} [/mm] = 2 ist und [mm] e^{2ln(2)} [/mm] = 4.
Dann ist das Ergebnis letztlich: 2.

mfG!
Zwerglein


Bezug
                                
Bezug
Asymptote von e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 Sa 12.11.2005
Autor: DerVogel

Vielen Dank für die schnellen Antworten!!!

Bezug
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