Asymptoten einer E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Fr 19.06.2009 | | Autor: | jana90 |
| Aufgabe | | Jede Funktion der Schar [mm] f_{k}(x)=\bruch{e^{x}}{k+e^{x}} [/mm] mit k>0 hat einen Graphen, der mit seiner Asymptote und der y- Achse im I. Quadranten eine Fläche einschließt. Berechnen Sie den INhalt [mm] J_{k} [/mm] dieser Fläche |
Hallo jetzt hab ich noch zu dieser Aufgabe eine Frage handelt sich immernoch um die gleiche Funktion ( es gibt 13 Teilaufgaben dazu =( )
und zwar woltl cih erst mal wissen ob denn auch das Integral das ich versucht hab zu berechnen, das richtige ist.
Es muss doch das Integral über dem Graphen bis zur Asymptote Y= 1 sein.
und dieses Flächenstück ist unendlich groß, und schmiegt sich immer weiter an die Asymptote an von unten.
dann ist auch kla das von von dem Integral den Grenzwert bestimmen muss. Nur haben wir soetwas noch nie gemacht und mein Lehrer meinte nur : " ja da musst du halt dann des Integral allgemein für einen Wert ausrechnen und dann das Integral von diesem Wert gegen unendlich streben lasen"
Ja jetzt hab ich das versucht und hab für das Integral die Formel angewendet:
Integral von f' (x) / f (x) = ln / f (x) / + C
also Integral in den Grenzen von 0 bis m ln / [mm] e^x [/mm] : [mm] k+e^x [/mm] /
und dann hab ich iwi als Grenzwert 1 raus.
kann das sein?
bzw. ist des soweit richtig??oder muss ich dann noch weiterrechnen weil eig. hätt ich somit ja nur den Bereich unter dem Graphen ausgerechnet und müsste dies ja dann von 1 * oo abziehen?! aber wie macht man des denn?
Danke für die Bemühungen im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Fr 19.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da das eine komplett neue Teilaufgabe zu der Aufgabe ist, habe ich sie mal in einem neuen Thread aufgemacht, das erleichtert das Antworten ungemein.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Fr 19.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Asymptote ist ja y=1 und (für k>0 gilt: [mm] f_{k}(x)<1 [/mm] ), und du integrierst von x=0 bis x=n
Also musst du das Integral [mm] \integral_{0}^{n}1-\bruch{e^{k}}{k+e^{k}}dx [/mm] berechnen, und danach [mm] n\to\infty [/mm] laufen lassen.
[mm] \integral_{0}^{n}1dx-\integral_{0}^{n}\bruch{e^{k}}{k+e^{k}}dx
[/mm]
[mm] =\left[x\right]_{0}^{n}-\left[\ln\left(k+e^{x}\right)\right]_{0}^{n}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 20.06.2009 | | Autor: | informix |
Hallo Marius,
> Hallo
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> Die Asymptote ist ja y=1 und (für k>0 gilt: [mm]f_{k}(x)<1[/mm] ),
> und du integrierst von x=0 bis x=n
>
> Also musst du das Integral
> [mm]\integral_{0}^{n}1-\bruch{e^{k}}{k+e^{k}}dx[/mm] berechnen, und
> danach [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen.
>
> [mm]\integral_{0}^{n}1dx-\integral_{0}^{n}\bruch{e^{k}}{k+e^{k}}dx[/mm]
>
> [mm]=\left[x\right]_{0}^{n}-\left[\ln\left(k+e^{x}\right)\right]_{0}^{n}[/mm]
> [mm]=\ldots[/mm]
>
In der Schule benutzt man für die obere (variable) Grenze lieber $b_$ als $n_$, weil das zu sehr nach natürlicher Zahl "riecht".
Gruß informix
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