Asymptotischer Test X~Poi < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Sa 28.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Es seien [mm] X_1, [/mm] . . . , [mm] X_n [/mm] i.i.d. Zufallsvariablen mit [mm] X_i [/mm] ~ Poi(λ), λ > 0.
(a) Konstruieren Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes einen asymptotischen Test der Hypothesen [mm] H_0 :\lambda=\lambda_0 [/mm] gegen [mm] H_1 :\lambda \not= \lambda_0 [/mm] zum Niveau [mm] \alpha \in [/mm] (0,1).
(b) Nun sei [mm] Y_1, [/mm] .... , [mm] Y_m [/mm] eine weitere, von [mm] X_1, [/mm] .... , [mm] X_n [/mm] unabhängige Stichprobe von i.i.d. Zufallsvariablen, wobei [mm] Y_i [/mm] ∼ [mm] Poi(\mu), \mu [/mm] > 0. Konstruieren Sie einen asymptotischen Test für [mm] H_0 [/mm] : λ = μ gegen [mm] H_1 [/mm] :λ [mm] \not= [/mm] μ zum Niveau [mm] \alpha \in [/mm] (0,1). |
Hallo zusammen,
bei der (a) muss ich doch nur die Testgröße [mm] T_n [/mm] : [mm] \IR^n \mapsto \IR
[/mm]
[mm] T_n [/mm] = [mm] \begin{cases} \wurzel{n}\bruch{\overline{x_n} - \lambda_0}{\wurzel{\overline{x_n}}}, & \mbox{für } \overline{x_n} > 0 \\ 0, & \mbox{für } \overline{x_n} = 0 \end{cases}
[/mm]
betrachten mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(|T_n|>z_{1-\bruch{\alpha}{2}}) [/mm] = [mm] \alpha, [/mm]
also ablehnen wenn der Betrag [mm] |T_n| [/mm] größer als das Quantil [mm] z_{1-\bruch{\alpha}{2}} [/mm] wird.
Stimmt das so?
Wie kann ich das auf die (b) beziehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 28.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
im Prinzip ja.
Nutze lieber, dass [mm] $\sqrt{n}\frac{\bar X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}$ [/mm] asymptotisch standardnormalverteilt ist. Das hat zwei Vorteile: Du musst nicht um [mm] $\bar [/mm] X=0$ herumeiern und i.a. ist die Approximation an die SNV besser.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 28.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Danke!
Was ich mir noch überlegt habe:
Kann ich bei der (b) die Statistik von hier verwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 28.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Danke!
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> Was ich mir noch überlegt habe:
>
> Kann ich bei der (b) die Statistik von
> hier verwenden?
Bitte etwas konkreter ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 So 29.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
> etwas konkreter
Naja, wir haben jetzt hier doch wieder einen solchen Zweistichproben-T-Test, über den wir letztes Mal schon gesprochen haben. Ich suche im Grunde ja wieder eine Statistik, mit der ich einen asymptotischen Test (zum Niveau [mm] \alpha)durchführen [/mm] kann, wie in Aufgabe (b) verlangt.
Kann ich hierfür was mit der dort besprochenen Statistik
[mm] |T_\theta| [/mm] = [mm] \bruch{\overline{X} - \overline{Y}}{\wurzel{(\bruch{1}{m} + \bruch{1}{n})s_{xy}^2}}
[/mm]
anfangen, oder bin ich auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 So 29.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Kann ich hierfür was mit der dort besprochenen Statistik
>
> [mm]|T_\theta|[/mm] = [mm]\bruch{\overline{X} - \overline{Y}}{\wurzel{(\bruch{1}{m} + \bruch{1}{n})s_{xy}^2}}[/mm]
>
> anfangen, oder bin ich auf dem Holzweg?
Du meinst vermutlich
[mm]|T_\theta| = \left|\bruch{\overline{X} - \overline{Y}}{\wurzel{(\bruch{1}{m} + \bruch{1}{n})s_{xy}^2}}\right|[/mm].
Leider nicht, denn es wird schwerfallen, die Verteilung von [mm] $T_\theta$ [/mm] unter [mm] $H_0$ [/mm] zu bestimmen (die ja diskret ist).
Vielleicht kannst du auszunutzen, dass [mm] \bruch{\overline{X} - \overline{Y}}{\wurzel{(\bruch{1}{m} + \bruch{1}{n})\lambda}} [/mm] unter [mm] $H_0$ [/mm] approximativ standardnormalverteilt ist...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 29.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
hmm, klingt interessant...aber wie kann ich dann genau einen Test daraus basteln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 29.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> hmm, klingt interessant...
Freut mich, aber Statistik *ist* interessant. 
Leider war mein Vorschlag ein unueberlegter Schnellschuss. So funktioneiert es anscheinend nicht. :-(
Vielleicht solltest du doch erst mal deinen Ansatz weiter verfolgen, jedoch musst du geschickt mit Grenzwertsaetzen argumentieren. Dass eine Approximation an die t-Verteilung gut funktioniert, wage ich aber bis zum Beweis des Gegenteils zu bezweifeln.
Vielleicht erfaehrst du ja noch die Loesung. Daran waere ich interessiert...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 30.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Ich habe noch ![[]](/images/popup.gif) diesen Link entdeckt, der müsste doch auf meine Aufgabe (b) passen (Formel (88) und das Beispiel drum herum).
Die genaue Lösung erfahre ich jedenfalls heute Abend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mo 30.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe noch
> diesen Link
> entdeckt, der müsste doch auf meine Aufgabe (b) passen
> (Formel (88) und das Beispiel drum herum).
Ja, passt. Aber die Asymptotik duerfte erst spaet greifen, vermute ich zumindest.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Sa 04.02.2012 | | Autor: | MattiJo |
analog zu dem Link war dann auch die Musterlösung 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Sa 04.02.2012 | | Autor: | luis52 |
> analog zu dem Link war dann auch die Musterlösung
Dank fuer Info.
vg Luis
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