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Asymptotisches Verhaltem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 So 21.01.2018
Autor: mikexx

Aufgabe
Moin, angenommen, ich weiß, dass für [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm]
[mm] $x_n\in (1,1+\frac{\log n}{n})$, [/mm] gilt dann, dass [mm] $x_n\sim 1+\frac{\log n}{n}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$? [/mm]



Meine Antwort ist: "ja!".

Denn ich denke, dass aus
[mm] $x_n\in (1,1+\frac{\log n}{n})$ [/mm] und der Tatsache, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n}=0$ [/mm] bzw. [mm] $\lim_{n\to\infty}1+\frac{\log n}{n}=1$ [/mm] sofort folgt, dass
[mm] $\lim x_n\to [/mm] 1$.

Somit gilt auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{1+\frac{\log n}{n}}=1$ [/mm]

und das bedeutet ja gerade [mm] $x_n\sim 1+\frac{\log n}{n}$. [/mm]


        
Bezug
Asymptotisches Verhaltem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 So 21.01.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

alles richtig.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Asymptotisches Verhaltem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 So 21.01.2018
Autor: sven1

Woher weißt du dass

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\log n}{n} [/mm] = 0$ ist?

Das stimmt zwar, aber bewiesen hast du es nicht (L'Hospital bspw.). Anschließend folgt durch die Limes Rechenregeln deine Behauptung.

Bezug
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