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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 So 27.05.2012 | | Autor: | sandmann |
Frage hat sich erledigt (siehe Mitteilung)
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen wächst schneller?
1. f(x) = [mm] \sqrt{x}
[/mm]
2. g(x) = [mm] log(x)^{\bruch{7}{2}} [/mm] |
Hallo,
ich darf als bekannt voraussetzen, dass [mm] \log(x) \in o(\sqrt{x}), [/mm] sprich [mm] "\log{x} [/mm] wächst langsamer als [mm] \sqrt{x}", [/mm] d.h.
[mm] \lim_{x \to \infty} \bruch{\log{x}}{\sqrt{x}} [/mm] = 0
Jetzt muss ich zeigen, dass entweder f(x) [mm] \in [/mm] o(g(x)) oder umgekehrt, zum Beispiel indem ich den Grenzwert
[mm] \lim_{x \to \infty} \bruch{log(x)^{\bruch{7}{2}}}{\sqrt{x}}
[/mm]
bestimme.
Probiert habe ich bisher:
L’Hôpital, also den Grenzwert beider Ableitungen bestimmen. Bringt mich nicht weiter, denn die erste Ableitung von g(x) ist
[mm] \bruch{7log(x)^{6}}{x}
[/mm]
Damit stellt sich die Frage, ob x oder [mm] log(x)^{6} [/mm] schneller wächst, auch hier weiß ich keine Antwort.
Alternativ könnte ich g(x) auch wie folgt schreiben:
g(x) = [mm] \sqrt{log(x)^{7}}
[/mm]
Nun habe ich bei f(x) und g(x) zwei Terme, die unter einer Wurzel stehen, sodass sich (wie bei der Anwendung von L’Hôpital) die Frage stellt, ob nun x oder [mm] log(x)^{7} [/mm] schneller wächst.
Kann ich [mm] log(x)^{7} [/mm] irgendwie umformen? Ich darf ja diesen Term um konstante Faktoren ergänzen und dürfte mir daher die Basis vom Logarithmus aussuchen, aber ich wüsste nicht, wie mich das weiter bringt.
Für Tipps wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 So 27.05.2012 | | Autor: | sandmann |
Ich denke, konnte mir die Frage selbst beantworten.
Ich habe anscheinend bei der Anwendung des Hopital nicht weit genug gedacht, wenn man das nämlich sukzessive fortsetzt steht irgendwann eine Konstante im Zähler.
Ich kann leider nicht den Status meiner Frage ändern, zumindest weiß ich nicht wie.
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