Auf Konvergenz Prüfen < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Fr 26.06.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe |
Untersuchen Sie auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{(x^2-4x+3)} dx} [/mm] |
Ich versehe nicht was diese Aufgabe mit Konvergenz zu tun haben soll, wenn ich Substituiere bekomme ich schlussendlich einen Konkreten wert raus und zwar arctan(-2).
Und laut Lösung divergiert dieses Integral
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
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> Untersuchen Sie auf Konvergenz und berechnen Sie
> gegebenenfalls
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{(x^2-4x+3)} dx}[/mm]
> Ich versehe
> nicht was diese Aufgabe mit Konvergenz zu tun haben soll,
> wenn ich Substituiere bekomme ich schlussendlich einen
> Konkreten wert raus und zwar arctan(-2).
> Und laut Lösung divergiert dieses Integral
Du hast über eine Singularität einfach "drübergebügelt:
Im Interationsintervall [0,2] hat [mm] $x^2-4x+3$ [/mm] die Nullstelle 1 !!!
FRED
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> _________
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 26.06.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Was genau habe ich gemacht? Und was war daran Falsch und was genau haben die Nullstellen damit zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 26.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast die Definitionslücke(n) von [mm] f(x)=\bruch{1}{x²-4x+3}=\bruch{1}{(x-1)(x-3)} [/mm] nicht beachtet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Fr 26.06.2009 | | Autor: | s3rial_ |
ich habe die Aufgabe anders umgeformt, verpasse ich dann diese nicht unwesentliche information und vor allem, wie gehe ich damit jetzt um?
Ich habe die Funktion folgendermaßen umgestellt:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x²-4x+3}=\bruch{1}{(x-2)^2+1)}
[/mm]
und dann halt Substituiert und soweiter...
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Hallo s3rial!
Diese Umformung ist falsch. Es gilt:
[mm] $$\bruch{1}{x^2-4x+3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x-2)^2 \ \red{-} \ 1}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 26.06.2009 | | Autor: | s3rial_ |
okay, ich damit sehe ich ein, das arctan() bei der integration gestorben ist.
Aber nun weiss ich garnicht mehr weiter.
[mm] f(x)=\bruch{1}{x²-4x+3}=\bruch{1}{(x-1)(x-3)}
[/mm]
Wir haben nun 2 Definitionslücken bei 3 und 1 und was mache ich nun mit dieser information?
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Hallo s3rial!
Du darfst nicht einfach über eine Definitionslücke (bzw. gar eine Polstelle wie hier) hinwegintegrieren.
Damit musst Du erst eine  Partialbruchzerlegung durchführen und anschließend zwei uneigentliche Integrale lösen:
[mm] $$\bruch{1}{(x-1)*(x-3)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x-3}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Fr 26.06.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Ah, jetzt verstehe ich das Problem,
okay jetzt kann ich erstmal weiter machen, besten dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 26.06.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Als Lösung bekomme ich nun folgendes:
[mm] \bruch{1}{2}ln(x-3)-ln(x-1) [/mm] (Grenze von 0 nach 1) + [mm] \bruch{1}{2}ln(x-3)-ln(x-1) [/mm] (Grenze von 1 nach 2)
Wie gehts weiter?
Ich meine zu glauben dass ich verstanden habe worum es hier geht. Also:
Ich habe ein Integral welches über einen Pol hinweg geht. Wenn diese Polstelle nicht hebbar ist (also wenn die Funktion nicht Stetig ist), dann kann kein Integral über dieses Intervall gebildet werden.
Soweit Richtig?
Kann ich jetzt normal die Grenzen einsetzen und gut ist, und wenn dies fehlschlägt, dann divergiert das Integral?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 26.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Als Lösung bekomme ich nun folgendes:
> [mm]\bruch{1}{2}ln(x-3)-ln(x-1)[/mm] (Grenze von 0 nach 1) +
> [mm]\bruch{1}{2}ln(x-3)-ln(x-1)[/mm] (Grenze von 1 nach 2)
>
> Wie gehts weiter?
>
> Ich meine zu glauben dass ich verstanden habe worum es hier
> geht. Also:
> Ich habe ein Integral welches über einen Pol hinweg geht.
> Wenn diese Polstelle nicht hebbar ist (also wenn die
> Funktion nicht Stetig ist), dann kann kein Integral über
> dieses Intervall gebildet werden.
> Soweit Richtig?
>
> Kann ich jetzt normal die Grenzen einsetzen und gut ist,
Kannst du nicht, weil der ln(1-1) nicht definiert ist. Du kannst nur den entsprechenden Grenzwert bilden.
Gruß Abakus
> und wenn dies fehlschlägt, dann divergiert das Integral?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{(x^2-4x+3)} dx}= [/mm] $
[mm] $\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2-4x+3)} dx}+\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{(x^2-4x+3)} dx} [/mm] $
und die beiden Integrale rechts sind uneigentliche Integrale, denn in der "Nähe" von 1 ist [mm] \bruch{1}{(x^2-4x+3)} [/mm] unbeschränkt
FRED
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