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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | U1 = {x [mm] \in R^{3} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] = 3 [mm] x^{3} [/mm] } |
Hallo,
ich soll bei der obigen Teilmenge untersuchen ob es sich um einen Untervektorraum handelt von [mm] \IR^{3} [/mm] oder nicht?!
Ich weiß aber irgendwie nicht wie das genau geht.
Ich weiß was ein Vektorraum ist. und zwar eine nicht lehre menge mit der möglichkeit zwei vektoren zu addieren und dann kommt wieder ein vektor raus. und einen vektor mit einem skalar zu multiplizieren und dann kommt wieder ein vektor raus. dann gelten noch die üblichen rechenregeln (wäre langweilig hier alle aufzuzählen). und insbesondere das distributivgesetzt.
desweiteren weiß ich, dass ein unterraum eine teilmenge eines vektroraumes ist. sie kann aber auch gleich einem vektorraum sein. das heißt: U [mm] \subseteq [/mm] V.
außerdem gelten noch folgende regeln bei unterräumen:
1. U [mm] \not= \emptyset \not= [/mm] {}
2. [mm] \forall [/mm] u, v [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] u + v [mm] \in [/mm] U
3. [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U und [mm] \forall \lambda \in [/mm] K [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] U
wie ihr sieht weiß ich schon ungefähr was da los ist. aber ich weiß ned wie ich die obige aufgabe lösen soll. was muss ich genau hinschreiben? wie gehe ich vor? usw.
vielen dank schon mal.
grüße
ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo ali,
> $U1 = [mm] \{x \in \IR^{3} \mid x_{1} + 2x_{2} = 3 x^{3}\}$
[/mm]
Heißt die Gleichung wirklich so? Sie macht keinen Sinn.
Aber wie ist es mit:
$U1 = [mm] \{x \in \IR^{3} \mid x_{1} + 2x_{2} = 3 x_3\}$
[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll bei der obigen Teilmenge untersuchen ob es sich um
> einen Untervektorraum handelt von [mm]\IR^{3}[/mm] oder nicht?!
>
> 1. U [mm]\not= \emptyset \not=[/mm] {}
> 2. [mm]\forall[/mm] u, v [mm]\in U \Rightarrow[/mm] u + v [mm]\in[/mm] U
> 3. [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U und [mm]\forall \lambda \in[/mm] K [mm]\Rightarrow \lambda[/mm]
> u [mm]\in[/mm] U
>
> wie ihr sieht weiß ich schon ungefähr was da los ist.
> aber ich weiß ned wie ich die obige aufgabe lösen soll.
> was muss ich genau hinschreiben? wie gehe ich vor? usw.
Überprüfe, ob U1 die drei Eigenschaften hat.
Die erste erfüllt U1, da z. B. der Nullvektor in U1 enthalten ist. [mm] $(x_1=x_2=x_3=0)$
[/mm]
Bei der zweiten mußt Du zeigen: Erfüllen [mm] $x_1, x_2, x_3$ [/mm] und [mm] $y_1, y_2, y_3$ [/mm] die Gleichung, so erfüllt auch [mm] $x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3$ [/mm] dieselbe -- oder ein Gegenbeispiel finden. Dann ist U1 kein Unterraum.
Und bei der dritten analog.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
danke wolfgang. mein prof heißt übrigens genauso wie du...  "helbig" :-D
ja du hattest recht. hab mich verschrieben in der aufgabenstellen. sorry.
aber ich kann leider mit deiner antwort immer noch nichts anfangen.
1. Warum ist der nullvektor in U enthalten? warum ist [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] = 0 ???? Beim nullvektor muss es doch so sein, dass wenn ich z.b. u mit dem nullvektor multipliziere muss wieder der nullvektor rauskommen. oder???
2. beim zweiten und dritten weiß ich immernoch nicht wie ich das nachweisen soll? soll ich irgendeine zahl nehmen? könntest du mir ein simples beispiel zeigen?
ich blättere dabei nochmal in meinen unterlagen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo piriyaie,
> aber ich kann leider mit deiner antwort immer noch nichts
> anfangen.
>
> 1. Warum ist der nullvektor in U enthalten? warum ist [mm]x_{1}[/mm]
> = [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{3}[/mm] = 0 ???? Beim nullvektor muss es doch so
> sein, dass wenn ich z.b. u mit dem nullvektor multipliziere
> muss wieder der nullvektor rauskommen. oder???
Nein. Das ist der Skalar 0, in diesem Fall also die reelle Zahl.
Der Nullvektor ist der Vektor, dessen Komponenten alle Null sind. Und der ist in U1 enthalten.
>
> 2. beim zweiten und dritten weiß ich immernoch nicht wie
> ich das nachweisen soll? soll ich irgendeine zahl nehmen?
> könntest du mir ein simples beispiel zeigen?
Nein. Damit kann man nichts beweisen. Sondern Du mußt irgend zwei Vektoren in U1 nehmen, und zeigen daß ihre Summe auch in U1 liegt. Das heißt, wenn die Komponenten der beiden Vektoren die Gleichung erfüllen, erfüllen auch die Summen der Komponenten die Gleichung.
>
> ich blättere dabei nochmal in meinen unterlagen...
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
hallo wolfgang,
ich hätte hier auch noch einen lösugsvorschlag:
U1 ist ein Unterraum von [mm] \IR^{3}, [/mm] weil:
1. U [mm] \not= [/mm] {}, da [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = 0 und 0 [mm] \not= [/mm] {} somit ist [mm] 0_{v} \in [/mm] U
2. [mm] 0_{v} [/mm] + [mm] 0_{v} [/mm] = [mm] 0_{v} \in [/mm] U
3. [mm] \lambda [/mm] * [mm] 0_{v} [/mm] = [mm] 0_{v} [/mm] hier ist [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
q.e.d.
was hälst du davon?
lg
ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
Die obige mitteilung sollte eigentlich eine frage sein. sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Die obige mitteilung sollte eigentlich eine frage sein.
> sorry.
Und meine Mitteilung eine Antwort auf diese Frage!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> hallo wolfgang,
>
> ich hätte hier auch noch einen lösugsvorschlag:
>
> U1 ist ein Unterraum von [mm]\IR^{3},[/mm] weil:
>
> 1. U [mm]\not=[/mm] {}, da [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = 0 und 0 [mm]\not=[/mm]
> {} somit ist [mm]0_{v} \in[/mm] U
> 2. [mm]0_{v}[/mm] + [mm]0_{v}[/mm] = [mm]0_{v} \in[/mm] U
> 3. [mm]\lambda[/mm] * [mm]0_{v}[/mm] = [mm]0_{v}[/mm] hier ist [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> q.e.d.
>
>
> was hälst du davon?
Nichts!
Zu 1. Du willst zeigen, daß U1 nicht leer ist. Und hierzu gibst Du einen Vektor an, der in U1 liegt. Und als Zeugen nimmt man am besten den Nullvektor. Und tatsächlich, der ist drin weil 0 + 2*0 - 3*0 = 0 ist. Ich kann jedenfalls mit dem besten Willen aus Deinem Lösungsvorschlag nicht herauslesen, daß U1 nicht leer ist.
Zu 2. Du hast nur von einem Vektor in U1 gezeigt, daß die Summe auch in U1 liegt. Dies ist zwar richtig, aber die Eigenschaft 2. ist viel anspruchsvoller: "Liegen irgendzwei Vektoren in U1, so liegt auch deren Summe in U1".
Ich mache es dir mal vor:
Sei [mm] $u=(u_1, u_2, u_3)\in [/mm] U1$ und sei [mm] $v=(v_1, v_2, v_3)\in [/mm] U1$
Dann ist
[mm] $u_1+2u_2-3u_3 [/mm] = 0$
[mm] $v_1+2v_2-3v_3 [/mm] = 0$
Addition der Gleichungen liefert:
[mm] $(u_1+v_1)+2(u_2+v_2)-3(u_3+v_3) [/mm] = [mm] 0\,.$
[/mm]
Und dies bedeutet: [mm] $u+v\in U1\,.$
[/mm]
Fertig.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
Ok! für 3. habe ich folgenden lösungsvorschlag:
[mm] u_{1}+2u_{2}-3u_{3}=0
[/mm]
[mm] v_{1}+2v_{2}-3v_{3}=0
[/mm]
Multiplikation der Gleichungen liefert:
[mm] u_{1}*v_{1}+2(u_{2}*v_{2})-3(u_{3}*v_{3})=0
[/mm]
und dies bedeutet: u*v [mm] \in [/mm] U1
richtig????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok! für 3. habe ich folgenden lösungsvorschlag:
>
> [mm]u_{1}+2u_{2}-3u_{3}=0[/mm]
>
> [mm]v_{1}+2v_{2}-3v_{3}=0[/mm]
>
> Multiplikation der Gleichungen liefert:
>
> [mm]u_{1}*v_{1}+2(u_{2}*v_{2})-3(u_{3}*v_{3})=0[/mm]
>
> und dies bedeutet: u*v [mm]\in[/mm] U1
>
>
> richtig????
Nein. Du kannst die Gleichungen doch nicht einfach multiplizieren! Es gibt tatsächlich Unterschiede zwischen Addition und Multiplikation. Und dies hat auch mit 3. nichts zu tun!
Stattdessen ist hier zeigen: Ist [mm] $u\in [/mm] U1$ und [mm] $\lambda\in \IR$, [/mm] so ist [mm] $\lambda u\in [/mm] U1$.
Gruß,
Wolfgang
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