Aufeinanderfolgende Zahlungen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 So 11.09.2011 | | Autor: | Kraya |
| Aufgabe | 1. Verallgemeinern Sie den Zahlungsvorgang unter der Voraussetzung mehrerer Zahlungen bei einer Verzinsung von p%
2. Setzen Sie nun eine konstante Zahlung voraus, welche Formel ergibt sich? |
Hallo,
also der gestellten Frage ging voraus, dass ein Unternehmen je eine Zahlungen in drei aufeinanderfolgenden Jahren durchführen muss und sie wissen wollen, welchen Betrag sie anlegen müssen um mit inkl. Zinsen einen ausreichenden Deckungsbetrag zu haben. Dafür habe ich die Formel der einfachen verzinsung umgestellt:
[mm] K_o [/mm] = [mm] K_n [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+i)^n}
[/mm]
Da das jährliche Zahlungen waren also
[mm] K_o [/mm] = [mm] K_1 [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+i)^1} [/mm] + [mm] K_2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+i)^2} [/mm] + [mm] K_3 [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+i)^3}
[/mm]
wobei i einem jährlichen Protentsatz entspricht, [mm] K_o [/mm] dem Barwert und [mm] K_n [/mm] das Endkapital bzw. das auszuzahlende Kapital.
Um zur Aufgabe oben zu kommen, für 1. dachte ich:
[mm] K_o [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+p)^1} [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+p)^2} [/mm] + ... + [mm] a_n [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+p)^n}
[/mm]
wäre das richtig so?
Und für 2. dachte ich erst einfach [mm] K_o [/mm] = [mm] a_n [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+p)^n} [/mm] aber dann habe ich ja eigentlich nur eine einfache Verzinsung berechnet und das ist ja nicht gefragt... Kann mir jemand sagen ob mein Ansatz zumindest stimmt und wie es weitergeht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mo 12.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Kraya,
> 1. Verallgemeinern Sie diesen Vorgang, in dem Sie annehmen,
> dass n aufeinanderfolgende Zahlungen [mm]a_1,a_2,…,a_n[/mm] zu
> tätigen sind und die Verzinsung von Guthaben mit
> durchschnittlich p % erfolgt.
> 2. Welche Formel ergibt sich nun, wenn die Zahlungen [mm]a_i[/mm]
> konstant sein sollen? Man spricht bei einer solchen Folge
> gleichbleibender Zahlungen von Renten.
> Hallo,
>
> also der gestellten Frage ging voraus, dass ein Unternehmen
> je eine Zahlungen in drei aufeinanderfolgenden Jahren
> durchführen muss und sie wissen wollen, welchen Betrag sie
> anlegen müssen um mit inkl. Zinsen einen ausreichenden
> Deckungsbetrag zu haben. Dafür habe ich die Formel der
> einfachen verzinsung umgestellt:
>
> [mm]K_o[/mm] = [mm]K_n[/mm] * [mm]\bruch{1}{(1+i)^n}[/mm]
>
> Da das jährliche Zahlungen waren also
>
> [mm]K_o[/mm] = [mm]K_1[/mm] * [mm]\bruch{1}{(1+i)^1}[/mm] + [mm]K_2[/mm] * [mm]\bruch{1}{(1+i)^2}[/mm] + [mm]K_3[/mm] * [mm]\bruch{1}{(1+i)^3}[/mm]
ja, das ist korrekt.
>
> wobei i einem jährlichen Protentsatz entspricht, [mm]K_o[/mm] dem
> Barwert und [mm]K_n[/mm] das Endkapital bzw. das auszuzahlende
> Kapital.
Genau.
>
> Um zur Aufgabe oben zu kommen, für 1. dachte ich:
>
> [mm]K_o[/mm] = [mm]a_1[/mm] * [mm]\bruch{1}{(1+p)^1}[/mm] + [mm]a_2[/mm] * [mm]\bruch{1}{(1+p)^2}[/mm] + ... + [mm]a_n[/mm] * [mm]\bruch{1}{(1+p)^n}[/mm]
> wäre das richtig so?
Ja, das stimmt!
Auch in Bezug auf Aufgabenteil 2, ist es hier aber ganz schön, einen Schritt weiter zu gehen und die Summenschreibweise zu benutzen. Dann ist
[mm]K_0=\summe_{i=1}^{n} a_i*\bruch{1}{(1+p)^i}[/mm]
>
> Und für 2. dachte ich erst einfach [mm]K_o[/mm] = [mm]a_n[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{(1+p)^n}[/mm] aber dann habe ich ja eigentlich nur
> eine einfache Verzinsung berechnet und das ist ja nicht
> gefragt...
Stimmt. Um die Aufgabe zu lösen, siehe die Lösung zur Aufgabe 1 an:
[mm]K_0=\summe_{i=1}^{n} a_i*\bruch{1}{(1+p)^i}[/mm]
Was ist nun, wenn [mm]a_i=a[/mm] (also konstant) für alle Jahre i. Dann ist
[mm]K_0=\summe_{i=1}^{n} a_i*\bruch{1}{(1+p)^i}=\summe_{i=1}^{n} \red{a}*\bruch{1}{(1+p)^i}=a*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1+p)^i}[/mm]
Vielleicht hattet ihr mal die geometrische Reihe?! Dann kannst du für [mm]a*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1+p)^i}[/mm] einen geschlossenen Ausdruck ohne Summenschreibweise berechnen (dann ist allerdings auf den Summationsindex zu achten - die geometrische Reihe beginnt nämlich bei i=0). Wenn ihr das allerdings nicht hattet, dann wäre es mit obigem Ergebnis bereits getan.
> Kann mir jemand sagen ob mein Ansatz zumindest
> stimmt und wie es weitergeht?
Gruß
barsch
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Kraya |
| Aufgabe | | Geometrische Reihe? Hmm, es wurde zumindest mal erwähnt glaube ich, aber wirklich darüber gesprochen haben wir soweit ich mich erinnere nicht... Kannst du das kurz erläutern? |
Ansonsten vielen vielen Dank!!!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Kraya |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 14.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Kraya,
> Ich habe dazu noch eine Frage:
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> >
> > Was ist nun, wenn [mm]a_i=a[/mm] (also konstant) für alle Jahre i.
> > Dann ist
> >
> > [mm]K_0=\summe_{i=1}^{n} a_i*\bruch{1}{(1+p)^i}=\summe_{i=1}^{n} \red{a}*\bruch{1}{(1+p)^i}=a*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1+p)^i}[/mm]
>
> >
> Das wird jetzt bei uns rente genannt.
> Dazu habe ich folgende Anschlussfrage:
> 'Der Barwert von Rentenzahlungen ist bei positiver
> Verzinsung geringer als die Höhe bzw. der Wert des nach
> Ablauf aller Zahlungsperioden insgesamt ausgezahlten
> Kapitals. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung des Wertes
> des Gesamtkapitals, welches am Ende der n
> Auszahlungsperioden bei einer Verzinsung von p %
> aufgelaufen ist. Es handelt sich um den zukünftigen Wert
> der Annuitätenzahlung.'
>
> Kann ich jetzt nicht eifach den Barwert mit der
> entsprechenden Verzinsung versehen und erhalte so den
> Endwert? Also
> [mm](a*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1+p)^i}[/mm] ) [mm]*(1+p)^n[/mm] ?
Ja, [mm]K_0=a*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1+p)^i}[/mm]
[mm]EW=K_0*(1+p)^n=\red{a*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1+p)^i}}*(1+p)^n[/mm]
Den roten Teil kannst du umschreiben, wie im Beitrag "Geom. Reihe" erklärt. Dann ist
[mm]EW=K_0*(1+p)^n=\red{a*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(1+p)^i}}*(1+p)^n=a\cdot{}\bruch{1}{1+p}\cdot{}\bruch{1-(\bruch{1}{1+p})^n}{1-\bruch{1}{1+p}}*(1+p)^n [/mm]
Und jetzt geschickt umformen.
> Aber
> wie komme ich dann auf die eigentliche Formel für den
> rentenendwert, der bei angenommerner nachüssiger
> Verzinsung wie folgt lautet:
>
> [mm]R_n[/mm] = a * [mm]\bruch{q^n -1}{q-1}[/mm]
>
> wobei q=1+p ist
>
Dann kannst du [mm]q:=1+p[/mm] definieren und hast, wenn du alles richtig gemacht hast, den obigen Ausdruck.
>
> Fragen über Fragen...
... wer nicht fragt, bleibt dumm.![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]")
Gruß
barsch
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Wiki-Artikel
