Aufg. 10 kombinierte Funktion < Analysis < Zentralabi NRW < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 13:55 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Sigrid |
Aufg.-Nr.: 10 Bereich: kombinierte Funktion Kursart: GK WTR
Wellness-Liege
Im WOLF-RENZ_DESIGN_ZENTRUM wird eine neue Generation an Wellness-Liegen entwickelt. Für das Topmodell ABI 2006 haben die Designer geschickt Ausschnitte aus verschiedenen Funktionsgraphen zusammengesetzt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Die Fußstütze ergibt sich als Verlängerung (Teil der Tangente) an das Gestell/Beinauflage g, wobei für g die Gleichung
$ g(x) = [mm] \bruch{1}{4} e^x \cdot (x-2)^2 [/mm] $
gilt.
a1) Weisen Sie nach, dass für die 1. Ableitung von g gilt:
$ g'(x) = [mm] \bruch{1}{4} e^x \cdot (x^2-2x) [/mm] $
a2) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an g, wenn der Übergang an x = -2 erfolgt.
a3) Geben Sie den Bereich für x an, in dem die Tangente als Fußstütze genutzt werden kann.
b) Als Sitzschale haben die Designer einen Ausschnitt aus der Parabel s (2. Ordnung) gewählt. Dabei haben sie für s die Gleichung
$s(x) = [mm] \bruch{e}{4e-8}\ (x^2-ex+2e-3) [/mm] $
ermittelt.
b1) Zeigen Sie, dass die Graphen von g und s an der Stelle x = 1 knickfrei ineinander übergehen.
b2) Berechnen Sie die exakte Stelle des tiefsten Punktes der Sitzschale.
(Rechnungen mit e, keine Rundungen)
c) Für die seitliche Verblendung des Bereichs zwischen Fußstütze, Gestell/Beinauflage und Erdboden (x-Achse) sollen spezielle bebürstete Aluminiumbleche zum Einsatz kommen, die aus rechteckigen Blechen herausgeschnitten werden. Hier gilt: LE 1 entspricht 0,25m.
c1) Geben Sie mit Hilfe einer Schraffur die beschriebene Fläche in der Gesamtansicht an.
c2) Ermitteln Sie die Mindestlänge und die Mindestbreite, die das rechteckige Blech aufweisen muss.
c3) Eine Stammfunktion der Funktion g lautet:
$ G(x) = [mm] \bruch{1}{4} e^x \cdot (x^2 [/mm] - 6x + 10) $
Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines fertig ausgeschnittenen Verblendungsblechs in m2.
Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW 16
![[]](/images/popup.gif) Aufgabensammlung genehmigter Abituraufgaben 2006, die auch die Vorgaben des Zentralabiturs 2007 erfüllen (PDF-Datei), Aufgabe 10.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Fr 23.03.2007 | | Autor: | ONeill |
a1.) [mm] g(x)=0,25*e^x*(x-2)^2
[/mm]
Produktregel:
[mm] u(x)=0,25e^x [/mm] v(x)=(x-2)
[mm] u´(x)=0,25e^x [/mm] v´(x)=2(x-2)
=> [mm] g´(x)=0,5e^x(x-2)+0,25e^x(x-2)^2 [/mm] ein bisschen auflösen und Zusammenfassen ergibt dann [mm] g´(x)=0,25e^x*(x^2-2x)
[/mm]
a2.)Steigung im Punkt x=2 =>g´(2)=2e^(-2)
Über Punkt-Steigungs-Form ergibt sich dann: t=2e^(-2)x+8e^(-2)
a3.) Der Bereich in dem die Tangente als Fußstütze genutzt werden kann, entspricht dem Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse=>0=2e^(-2)x+8e^(-2)
x=-4
Intervall ist somit [-4;-2]
b1.)Wenn die beiden Graphen von g und s an der Stelle x=1 knickfrei ineinander übergehen sollen, müssen sie in diesem Punkt die selbe Steigung haben=>g´(1)=s´(1)
g´(1)=-0,25e s´(1)=-0,25e
Außerdem müssen sich g und s im Punkt x=1 schneiden. Dies ergibt sich durch gleichsetzten der Therme.
b2.)tiefste Stelle=>Extrempunkt suchen
notwendige Bediungung ergibt x=0,5e
hinreichende Bediungung: s´´(0,5e)>0 => Tiefpunkt an der Stelle [mm] T(0,5e/\left( \bruch{-0,25e^3+2e^2-3e}{4e-8} \right))
[/mm]
c1.) kann ich hier schlecht zeigen 
c2.)Die Mindestlänge ergibt sich aus dem Abstand der Schnittpunkte der Tangente t mit der x-Achse und dem Tiefpunkt von g.
=>Mindestlänge von [mm] \approx [/mm] 1,50m
Mindestbreite=0,25m
c3.) Da hab ich noch nen Fehler drin...reiche ich vielleicht die Tage nach; am Ende kommt aber /approx [mm] 0,2098m^2 [/mm] raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Kroni |
> a1.) [mm]g(x)=0,25*e^x*(x-2)^2[/mm]
> Produktregel:
> [mm]u(x)=0,25e^x[/mm] v(x)=(x-2)
> [mm]u´(x)=0,25e^x[/mm] v´(x)=2(x-2)
> => [mm]g´(x)=0,5e^x(x-2)+0,25e^x(x-2)^2[/mm] ein bisschen auflösen
> und Zusammenfassen ergibt dann [mm]g´(x)=0,25e^x*(x^2-2x)[/mm]
Stimmt, war ja auch in der Aufgabe selbst gegeben.
> a2.)Steigung im Punkt x=2 =>g´(2)=2e^(-2)
> Über Punkt-Steigungs-Form ergibt sich dann:
> t=2e^(-2)x+8e^(-2)
Hab ich auch raus.
> a3.) Der Bereich in dem die Tangente als Fußstütze genutzt
> werden kann, entspricht dem Schnittpunkt der Tangente mit
> der x-Achse=>0=2e^(-2)x+8e^(-2)
> x=-4
> Intervall ist somit [-4;-2]
Jip
> b1.)Wenn die beiden Graphen von g und s an der Stelle x=1
> knickfrei ineinander übergehen sollen, müssen sie in diesem
> Punkt die selbe Steigung haben=>g´(1)=s´(1)
> g´(1)=-0,25e s´(1)=-0,25e
>
> Außerdem müssen sich g und s im Punkt x=1 schneiden. Dies
> ergibt sich durch gleichsetzten der Therme.
Ich habe anders agumentiert:
Da x=1 schon vorgegeben ist, kannst du doch einfach zeigen, dass g(x) und s(x) dort den selben y-Wert haben. Ist denke ich schneller, als gleichzusetzen und nach x aufzulösen.
>
> b2.)tiefste Stelle=>Extrempunkt suchen
> notwendige Bediungung ergibt x=0,5e
> hinreichende Bediungung: s´´(0,5e)>0 => Tiefpunkt an der
> Stelle [mm]T(0,5e/\left( \bruch{-0,25e^3+2e^2-3e}{4e-8} \right))[/mm]
Die Stelle habe ich auch. Der Punkt passt ebenfalls, aber auch hier war ja nur nach der exakten STELLE gefragt, also hast du dir auch zu viel "Arbeit" gemacht.
>
> c1.) kann ich hier schlecht zeigen
Guck dir mal meine Lösung an, ich habs mal versucht zu schraffieren und habs dann mal hochgeladen.
> c2.)Die Mindestlänge ergibt sich aus dem Abstand der
> Schnittpunkte der Tangente t mit der x-Achse und dem
> Tiefpunkt von g.
> =>Mindestlänge von [mm]\approx[/mm] 1,50m
> Mindestbreite=0,25m
Jip. Die Mindestlänage ist sogar gleich 1,5m.
> c3.) Da hab ich noch nen Fehler drin...reiche ich
> vielleicht die Tage nach; am Ende kommt aber /approx
> [mm]0,2098m^2[/mm] raus.
Das Endergebnis habe ich auch.
Dein Fehler könnte darin liegen, indem du der Stammfunktion geglaubt hast. Diese ist falsch.
Es muss heißen:
[mm] G(x)=0,25e^x(x^2-6x+10)
[/mm]
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier mal wieder der Versuch einer Lösung:
a1) Der Nachweis:
Die 1/4 lässt man aussen vor, da es ein konstanter Faktor ist.
Dann wendet man die Produktregel an, löst die binomische Formel auf, fasst mit dem 2(x-2) zusammen und kommt zu dem Ergebnis, welches dort schon steht.
a2) Gleichung der Tangente an g mit x=-2
1) Steigung berechnen:
[mm] g'(-2)=2e^{-2}
[/mm]
2) Punkt berechnen:
[mm] g(-2)=4e^{-2}
[/mm]
3) Tangentengleichung berechnen:
y=mx+n
[mm] m=2e^{-2}
[/mm]
Punkt einsetzen ergibt: [mm] n=8e^{-2}
[/mm]
=> [mm] y=2e^{-2}x+8e^{-2}
[/mm]
a3) Die Tangente kann von der Stelle x=-2 bis zu der Stelle, wo sie den Fussboden, sprich die x-Achse schneidet benutzt werden:
Berechnen des x-Achsen-Schnittpunktes:
y=0 <=> x=-4 (sry, bin zu Faul, die Rechnung einzugeben)
=> Die Fußstütze kann im Bereich von -4 bis -2 benutzt werden
(oder im Intervall [-4;-2])
b1) 1) Berechnen von g(1): g(1)=0,25e
Berechnen von s(1): s(1)=0,25e
Knickfrei heißt aber auch: die selbe Steigung (hier hätte man, wenn es eine "mathematische" Frage gewesen wäre nach der Differenzierbarkeit gefragt):
g'(1)=-0,25e
s'(1)=-0,25e
=> g und s gehen an der Stelle x=1 knickfrei ineinander über.
b2)
Berechnen der Tiefstelle:
[mm] s'(x)=\bruch{e}{4e-8}(2x-e)
[/mm]
s'(x)=0 <=> x=e/2
Monotonieuntersuchung ergibt, dass hier eine Tiefstelle vorliegt.
Da hier nur nach der exakten Stelle des tiefsten Punktes gefragt ist, lautet die Antwort x=0,5e
c)
Hier war ich erstmal ein wenig unsicher, welchen Bereich der Autor nun genau meint.
Ich habe mich aber aufgrund der Formulierung auf folgenden Bereich festgelegt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
c2) Die Mindeslänge setzt sich folgendermaßen zusammen:
Von der Nullstelle der Fußstütze bis zur Nullstelle des Gestells/Beinauflage.
x=-4 und x=2 (sieht man schon, wenn man sich g(x) ansieht, dass bei x=2 eine doppelte Nullstelle vorliegt).
D.h. die Länge ist 6LE
Die maximale Höhe liegt bei x=0 vor (s.h. erste Ableitung von g und Monotnonieuntersuchung).
g(0)=1
=> Die Höhe bzw maximale Breite beträgt 1LE
Das entspricht einer Mindestlänge von 1,5m und einer Mindestbreite von 0,25m.
c3) Das Blech setzt sich folgendermaßen zusammen:
Einmal das Dreieck von x=-4 bis x=-2.
Flächeninhalt:
[mm] A=0,5*2*g(-2)=4e^{-2}
[/mm]
Und der Fläche, die der Graph von g(x) im Intervall [-2;2] einschließt:
[mm] \integral_{-2}^{2}{g(x) dx}=0,5e^2-6,5e^{-2}
[/mm]
Hier möchte ich nochmal sagen, dass die angegebene Stammfunktion nicht stimmt! Es muss anstatt [mm] x^3 x^2 [/mm] heißen!
Der gesamte Flächeninhalt ist dann die Summe aus den beiden Teilflächen:
[mm] A_{ges}=0,5e^2-2,5e^{-2}\approx3,356FE
[/mm]
Da hier aber nach der Fläche in m² gefragt ist, muss man dies noch umrechnen:
1LE entspricht 0,25m
1FE entspricht dann [mm] 0,25*0,25m^2
[/mm]
=> 3,356FE entsprechen dann 0,2098m²
Das wärs.
Sláin,
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Sigrid |
> Hi,
>
> hier mal wieder der Versuch einer Lösung:
>
> a1) Der Nachweis:
> Die 1/4 lässt man aussen vor, da es ein konstanter Faktor
> ist.
> Dann wendet man die Produktregel an, löst die binomische
> Formel auf, fasst mit dem 2(x-2) zusammen und kommt zu dem
> Ergebnis, welches dort schon steht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> a2) Gleichung der Tangente an g mit x=-2
>
> 1) Steigung berechnen:
> [mm]g'(-2)=2e^{-2}[/mm]
> 2) Punkt berechnen:
> [mm]g(-2)=4e^{-2}[/mm]
> 3) Tangentengleichung berechnen:
> y=mx+n
> [mm]m=2e^{-2}[/mm]
> Punkt einsetzen ergibt: [mm]n=8e^{-2}[/mm]
> => [mm]y=2e^{-2}x+8e^{-2}[/mm]
>
> a3) Die Tangente kann von der Stelle x=-2 bis zu der
> Stelle, wo sie den Fussboden, sprich die x-Achse schneidet
> benutzt werden:
>
> Berechnen des x-Achsen-Schnittpunktes:
>
> y=0 <=> x=-4 (sry, bin zu Faul, die Rechnung einzugeben)
>
> => Die Fußstütze kann im Bereich von -4 bis -2 benutzt
> werden
> (oder im Intervall [-4;-2])
>
> b1) 1) Berechnen von g(1): g(1)=0,25e
> Berechnen von s(1): s(1)=0,25e
>
> Knickfrei heißt aber auch: die selbe Steigung (hier hätte
> man, wenn es eine "mathematische" Frage gewesen wäre nach
> der Differenzierbarkeit gefragt):
> g'(1)=-0,25e
> s'(1)=-0,25e
>
> => g und s gehen an der Stelle x=1 knickfrei ineinander
> über.
>
> b2)
> Berechnen der Tiefstelle:
> [mm]s'(x)=\bruch{e}{4e-8}(2x-e)[/mm]
> s'(x)=0 <=> x=e/2
>
> Monotonieuntersuchung ergibt, dass hier eine Tiefstelle
> vorliegt.
>
> Da hier nur nach der exakten Stelle des tiefsten Punktes
> gefragt ist, lautet die Antwort x=0,5e
>
> c)
> Hier war ich erstmal ein wenig unsicher, welchen Bereich
> der Autor nun genau meint.
> Ich habe mich aber aufgrund der Formulierung auf folgenden
> Bereich festgelegt:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hier habe ich auch überlegt, aber es gibt wohl keine andere zur Formulierung passende Interpretation.
>
> c2) Die Mindeslänge setzt sich folgendermaßen zusammen:
>
> Von der Nullstelle der Fußstütze bis zur Nullstelle des
> Gestells/Beinauflage.
> x=-4 und x=2 (sieht man schon, wenn man sich g(x) ansieht,
> dass bei x=2 eine doppelte Nullstelle vorliegt).
> D.h. die Länge ist 6LE
> Die maximale Höhe liegt bei x=0 vor (s.h. erste Ableitung
> von g und Monotnonieuntersuchung).
> g(0)=1
> => Die Höhe bzw maximale Breite beträgt 1LE
>
> Das entspricht einer Mindestlänge von 1,5m und einer
> Mindestbreite von 0,25m.
>
> c3) Das Blech setzt sich folgendermaßen zusammen:
> Einmal das Dreieck von x=-4 bis x=-2.
> Flächeninhalt:
> [mm]A=0,5*2*g(-2)=4e^{-2}[/mm]
>
> Und der Fläche, die der Graph von g(x) im Intervall [-2;2]
> einschließt:
> [mm]\integral_{-2}^{2}{g(x) dx}=0,5e^2-6,5e^{-2}[/mm]
>
> Hier möchte ich nochmal sagen, dass die angegebene
> Stammfunktion nicht stimmt! Es muss anstatt [mm]x^3 x^2[/mm]
> heißen!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Da hat der Tippfehlerteufel zugeschlagen.
>
> Der gesamte Flächeninhalt ist dann die Summe aus den beiden
> Teilflächen:
>
> [mm]A_{ges}=0,5e^2-2,5e^{-2}\approx3,356FE[/mm]
> Da hier aber nach der Fläche in m² gefragt ist, muss man
> dies noch umrechnen:
>
> 1LE entspricht 0,25m
> 1FE entspricht dann [mm]0,25*0,25m^2[/mm]
> => 3,356FE entsprechen dann 0,2098m²
>
> Das wärs.
Ich habe keine Einwände.
Gruß
Sigrid
>
> Sláin,
>
> Kroni
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 11.04.2007 | | Autor: | G3RM4NY |
| Aufgabe | c) Für die seitliche Verblendung des Bereichs zwischen Fußstütze, Gestell/Beinauflage und Erdboden (x-Achse) sollen spezielle bebürstete Aluminiumbleche zum Einsatz kommen, die aus rechteckigen Blechen herausgeschnitten werden. Hier gilt: LE 1 entspricht 0,25m.
c1) Geben Sie mit Hilfe einer Schraffur die beschriebene Fläche in der Gesamtansicht an.
c2) Ermitteln Sie die Mindestlänge und die Mindestbreite, die das rechteckige Blech aufweisen muss.
c3) Eine Stammfunktion der Funktion g lautet:
(...)
Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines fertig ausgeschnittenen Verblendungsblechs in m². |
Warum wird in den obrigen Lösungen für Aufgabe c3) die Fläche unter der Fußstütze nicht beachtet, die in Aufgabe c2) noch zum Verblendungsblech gehörte?
Müsste die Fläche A(ges) unter g(x) nicht noch zu der unter s(x) addiert werden?
Gruß,
G3RM4NY
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> c) Für die seitliche Verblendung des Bereichs zwischen
> Fußstütze, Gestell/Beinauflage und Erdboden (x-Achse)
> sollen spezielle bebürstete Aluminiumbleche zum Einsatz
> kommen, die aus rechteckigen Blechen herausgeschnitten
> werden. Hier gilt: LE 1 entspricht 0,25m.
> c1) Geben Sie mit Hilfe einer Schraffur die beschriebene
> Fläche in der Gesamtansicht an.
> c2) Ermitteln Sie die Mindestlänge und die Mindestbreite,
> die das rechteckige Blech aufweisen muss.
> c3) Eine Stammfunktion der Funktion g lautet:
>
> (...)
>
> Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines fertig
> ausgeschnittenen Verblendungsblechs in m².
> Warum wird in den obrigen Lösungen für Aufgabe c3) die
> Fläche unter der Fußstütze nicht beachtet, die in Aufgabe
> c2) noch zum Verblendungsblech gehörte?
> Müsste die Fläche A(ges) unter g(x) nicht noch zu der
> unter s(x) addiert werden?
Das hat Kroni auch gemacht. Ich kopiere dir ihren Ansatz nochmal hier rein:
c3) Das Blech setzt sich folgendermaßen zusammen:
> Einmal das Dreieck von x=-4 bis x=-2.
> Flächeninhalt:
> $ [mm] A=0,5\cdot{}2\cdot{}g(-2)=4e^{-2} [/mm] $
Das ist die Fläche unter der Fußstütze. Da die Begrenzungslinie eine Gerade ist, ist dieser Flächenteil ein Dreieck.
>
> Und der Fläche, die der Graph von g(x) im Intervall [-2;2]
> einschließt:
> $ [mm] \integral_{-2}^{2}{g(x) dx}=0,5e^2-6,5e^{-2} [/mm] $
Gruß
Sigrid
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