Aufg. Banachscher Fixpunksatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte folgendes lineares Gleichungssystem:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{i}_{j}*x_{j} [/mm] + [mm] b_{i} [/mm] (i=1,..,n)
wobei [mm] a_{i}_{j}, b_{i} [/mm] reell und gegeben und [mm] x_{i} [/mm] (reell) gesucht.
Weiterhin erfüllen die [mm] a_{i}_{j}: \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a_{i}_{j}^2 [/mm] < 1
Zeige: Es existiert eine Lösung des Gleichungssystems. |
Erstmal hallo alle zusammen!
Wir haben zuletzt u.a. den Banachschen Fixpunktsatz behandelt und diese Aufgabe schreit ja förmlich nach Anwendung ebendiesen Satzes. Also:
Ich habe mir zuerst die Abbildung f: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR^{n} [/mm] mit f(x) = A*x + b definiert, wobei A = [mm] (a_{i}_{j}) [/mm] (nxn) und b = [mm] b_{i} [/mm] (nx1) s.o. sind.
Nun heißt's die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes zu überprüfen:
Nehme ich [mm] \IR^{n} [/mm] mit der 2er Norm zum Quadrat zur Hand [mm] ((\parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2})^2 [/mm] , dann ist dies ein vollständiger metrischer Raum.
Nun muss ich noch zeigen, dass f kontrahierend ist:
[mm] (\parallel [/mm] f(x) - f(y) [mm] \parallel_{2})^2 [/mm] = [mm] (\parallel [/mm] A*x+b-(A*y-b) [mm] \parallel_{2})^2 [/mm] = [mm] (\parallel [/mm] A*(x-y) [mm] \parallel_{2})^2 [/mm] = [mm] (\parallel \vektor{ \summe_{j=1}^{n} a_{1}_{j}*(x_{j}-y_{y}) \\ .. \\ \summe_{j=1}^{n} a_{n}_{j}*(x_{j}-y_{y}) } \parallel_{2})^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (\summe_{j=1}^{n} a_{i}_{j}*(x_{j}-y_{y}))^2 [/mm] = ... ??? ... [mm] \le L*(\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel_{2})^2, [/mm] wobei L<1
Tja, und die "???" haben's in sich, dort stecke ich fest.
- Zu aller erst: Ist meine Idee, die 2er Norm zum Quadrat als Metrik zu verwenden, überhaupt eine gute Idee? Irgendwie muss ich ja auf die vertrakten Quadrate der Voraussetzung [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a_{i}_{j}^2 [/mm] kommen.
Verwende ich die 2er Norm ohne Quadrat, so stecke ich ebenfalls an einem gewissen Punkt fest (nachdem ich die Dreiecksungleichung angewendet und umsummiert habe).
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, denn mich wurmt es total, dass ich die Aufgabe nicht lösen kann...
Besten Dank und viele Grüße!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Zunächst mal: [mm] $\|*\|_2^2$ [/mm] ist keine Metrik! Die Dreiecksungleichung ist nämlich nicht erfüllt. So gilt zum Beispiel: [mm] $(2+4)^2=36>20=2^2+4^2$.
[/mm]
Außerdem solltest du bei der Lösung dieser Aufgabe nicht vergessen, dass [mm] $i\in\{[1,\dots,n\}$ [/mm] ist. Definiere die also lieber eine Funktion [mm] $f\colon\ \IR^{n\times n}\to\IR^{n\times n}$ [/mm] mit [mm] $X\mapsto [/mm] AX+B$, wobei [mm] $A=\big(a_{ij}\big)_{i,j=1,\dots,n}$, $B=\big(b_1|cdots|b_n)$.
[/mm]
Jetzt musst du dir eine Metrix auf [mm] $\IR^{n\times n}$ [/mm] definieren, die zu deiner Bedingung $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a_{i}_{j}^2 [/mm] <1$ passt...
Kommst du jetzt weiter?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Fr 14.07.2006 | | Autor: | aintschie |
Danke für deinen Tipp, banachella!
Ich habe die Lösung doch noch selber hingekriegt. Man musste nur die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung anwenden, um die Quadrate passend abzuschätzen und schon stand's da.
Btw: Die 2-Norm zum Quadrat ist meines Erachtens sehr wohl eine Metrik und zwar im folgende Sinne: "Jede Norm induziert eine Metrik via d(x, y) = || x y ||." Ok? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Do 24.08.2006 | | Autor: | banachella |
Hallo!
> Btw: Die 2-Norm zum Quadrat ist meines Erachtens sehr wohl
> eine Metrik und zwar im folgende Sinne: "Jede Norm
> induziert eine Metrik via d(x, y) = || x y ||." Ok?
In der Tat induziert jede Norm eine Metrik. Aber [mm] $d(x,y)=\|x-y\|^2$ [/mm] ist keine Metrik, da die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist. Z.B.:
[mm] $d(4,-2)=\|4+2\|^2=36$, [/mm] aber [mm] $d(4,0)+d(0,-2)=16+4=20\not\ge [/mm] 36$....
Gruß, banachella
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