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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Aufgabe
Aufgabe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe: Rang einer Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Mi 06.07.2005
Autor: rscharrer

Hallo.

Komm bei folgender Aufgabe einfach nicht zu Rande. Hat mir schon einiges an Kopfzerbrechen bereitet, aber ich komm nicht drauf:

Sei A,B [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] mit rg(A) = n-k und rg(B) = n-l. Zu beweisen:
rg(AB) [mm] \ge [/mm] n-k-l.
Zudem soll ein Beispiel angegeben werden für rg(AB) = n-k-l.

Ich denk mir es hat irgendwas mit dem Verhältnis zw. Rang und Dimension der  Matrizen zu tun.
Weiter keine Ahnung.

Vielen Dank im Voraus.

Gruß Roland

        
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Aufgabe: Tipp!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Mi 06.07.2005
Autor: taura

Hallo Roland!

Versuch mal über den Rang (Dimension des Bildes) der zugehörigen Abbildungen zu argumentieren! Was passiert nämlich, wenn du zwei entsprechende Abbildungen verknüpfst? Kommst du damit weiter?

Gruß Biggi

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Aufgabe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 So 10.07.2005
Autor: rscharrer

Hallo.
Kann damit im Moment leider nichts anfangen. Komm da einfach nicht weiter.
Weiß das ich die Dimension des Bildraums betrachten muss. Aber wie?

Weiß einfach nicht, wie ich da eine stimmige Argumentationskette aufbaue.

Gruß Roland

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Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Mo 11.07.2005
Autor: Julius

Hallo!

Man könnte etwa so argumentieren:

$rg(AB)$

[mm] $=\dim(Bild(AB))$ [/mm]

[mm] $=\dim(Bild(A|_{Bild(B)}))$ [/mm]

[mm] $=\dim(Bild(B)) [/mm] - [mm] \dim(Kern(A|_{Bild(B)}))$ [/mm]

$=n-1 - [mm] \dim(Kern(A|_{Bild(B)}))$ [/mm]

[mm] $\ge [/mm] n-1 - [mm] \dim(Kern(A))$ [/mm]

$=n-1-k$,

was zu zeigen war.

Viele Grüße
Julius

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Aufgabe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Mo 11.07.2005
Autor: rscharrer

Soweit komme ich mit. Nur die Dimensionsrechnung ist mir nicht so geläufig:

Was bedeutet oder wie interpretiert man dim(Bild(A|Bild(B))? verstehe hier die  Notation mit dem | nicht.

gruß Roland


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Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mo 11.07.2005
Autor: taura

Hallo Roland!

Die Notation [mm]A|_{Bild(B)}[/mm] bedeutet A eingeschränkt auf das Bild von B, sprich:
[mm]A|_{Bild(B)}: Bild(B) \to V; v \mapsto A(v) [/mm]
Es handelt aich also um die gleiche Abbildungsvorschrift, nur werden jetzt nicht mehr alle v aus V abgebildet, sondern nur noch alle v aus Bild(B). Und genau die brauchst du ja auch nur für deine Verknüpfung, denn du bildest dort ja unter A nur ab, was unter B "angekommen" ist.

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