Aufgabe - Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden vier Vektoren in [mm] \IR^3
[/mm]
[mm] $\vec{v_1}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vec{v_2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}, \vec{v_3}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}, \vec{v_4}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}$
[/mm]
Verifizieren Sie, dass diese vier Vektoren den ganzen Raum [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen. |
Hi,
ich benötige hier einen Tip um überhaupt mal anfangen zu können. Ich vermute mal dass die Aufgabe was mit dem Span/Linearen Hülle zu tun hat um das zu zeigen oder?
Danke Gruß Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 17.12.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Thomas,
die Idee mit dem Spann bzw. lineare Hülle war völlig richtig. Wieviele Vektoren spannen den [mm] \IR^3 [/mm] auf? Es werden drei linear unabhängige Vektoren benötigt. Schreibe die vier Vektoren als Spalten einer Matrix nebeneinander, dann bestimme den Rang dieser Matrix. Kann maximal drei sein, wegen Zeilenrang = Spaltenrang! Sollte dieser Matrixrang kleiner als drei sein, kann der [mm] \IR^3 [/mm] nicht durch die vier gegebenen Vektoren aufgespannt werden.
Die Aufgabenstellung kann auch anders formuliert werden mit dem gleichen Ziel: Wähle aus den vier Vektoren eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus.
Hoffe jetzt ist die Aufgabe leichter zu rechnen. Sonst einfach nachfragen.
Gruß
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 So 17.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi,
danke für den Tip, ich habe es ausgerechnet und der Rang beträgt 3, also spannen die 4 Vektoren den gesamten [mm] \IR^3 [/mm] auf 
Danke für die Hilfe!
Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mo 18.12.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
noch als Zusatz kann somit gezeigt werden, welcher der vier Vektoren Linearkombination der drei anderen ist und somit kein Basisvektor des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Ron
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