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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #109 (?),(INMO)
Aufgabe #109 (?),(INMO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #109 (?),(INMO): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:11 Mi 28.12.2005
Autor: Hanno

Aufgabe
Für natürliches $n$ sei $f(n)$ die Anzahl der inkongruenten Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und Umfang $n$.
Man zeige: $f(1999)>f(1996)$, $f(2000)=f(1997)$.

Viel Spaß!

Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #109 (?),(INMO): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Mi 28.12.2005
Autor: moudi

Aufgabe
Für natürliches [mm]n[/mm] sei [mm]f(n)[/mm] die Anzahl der inkongruenten
Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und Umfang [mm]n[/mm].
Man zeige: [mm]f(1999)>f(1996)[/mm], [mm]f(2000)=f(1997)[/mm].

Hallo Hanno

Die Anzahl inkongruenter Lösungen, ist die Anzahl aller positiven ganzzahligen Trippel (a, b, c) für die gilt:
i)   $a+b+c=n$
ii)  [mm] $a\geq b\geq [/mm] c$
iii) $b+c>a$  Dreiecksungleichung!

Ist $(a, b, c)$ eine Lösung von für $n$, so ist $(a+1, b+1, c+1)$ sicher eine Lösung für $n+3$, es gilt daher [mm] $f(n+3)\geq [/mm] f(n)$.

Umgekehrt, ist $(a, b, c)$ eine Lösung für $n+3$ mit $b+c>a+1$, dann ist $(a-1, b-1, c-1)$ eine Lösung für $n$.
(Es ist auch garantiert, dass $c>0$!)

Daraus folg,  $f(n+3)=f(n)$ genau dann, wenn es keine Lösung von $n+3$ gibt mit $b+c=a+1$. In diesem Fall lassen sich die Lösungsmengen bijektiv aufeinander abbilden.

Ich untersuche nun allgemein, wenn es eine Lösung gibt für $n$ mit $b+c=a+1$.
Wegen [mm] $a+\underbrace{b+c}_{a+1}=n$ [/mm] gilt dann $2a+1=n$, d.h. $n$ ist ungerade. Ist umgekehrt, $n>1$ ungerade, dann setzt man [mm] $a=\frac{n-1}{2}$ [/mm] und es gibt sicher $b$ und $c$ mit $b+c=a+1$.

Daher $f(n)=f(n+3)$ genau dann, wenn $n+3$ gerade und daher $n$ ungerade.
$f(n)<f(n+3)$ genau dann, wenn $n+3$ ungerade und daher $n$ gerade.

mfG Moudi



Bezug
                
Bezug
Aufgabe #109 (?),(INMO): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Di 03.01.2006
Autor: Hanno

Hallo Moudi.

So habe ich das auch gemacht, wunderbar! [ok]

Es wirkt zuerst ein wenig abschreckend, finde ich, nach kurzem Überlegen stellt man dann aber fest, dass es recht einfach ist. So kann man sich täuschen :)


Liebe Grüße,
Hanno

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