Aufgabe #117 (BraMo),(?) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:44 Do 05.01.2006 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | Existiert eine endliche Menge von wenigstens 3 Punkten in der Ebene, sodass keine drei kollinear sind und der Umkreis von je drei Punkten wieder in der Menge liegt? |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Do 05.01.2006 | | Autor: | Cool-Y |
hallo hanno,
ich habe eine frage zur aufgabenstellung: soll der umkreismittelpunkt wieder in der menge liegen, oder wie ist das gemeint? ein kreis besteht doch eigentlich aus unendlich vielen punkten, wodurch das ganze keine endliche menge mehr wäre, oder?
mfg Mario
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Do 05.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mario!
Es sind drei Punkte aus der Menge gemeint, nicht drei beliebig aus der Ebene gewählte.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Entschuldige. Ich schrieb Umkreis, gemeint ist der Umkreismittelpunkt!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Fr 06.01.2006 | | Autor: | moudi |
| Aufgabe | Existiert eine endliche Menge von wenigstens 3 Punkten in
der Ebene, sodass keine drei kollinear sind und der Umkreis
von je drei Punkten wieder in der Menge liegt? |
Hallo Hanno
Wenn du so fragst, ist die Antwort eher Nein.
Die Idee ist ziemlich klar. In den meisten Fällen liegt der Umkreismittelpunkt näher bei den Ecken, als die andern Ecken. Deshalb kann keine endliche Menge mit je drei nichtkollinearen Punkten auch ihren Umkreismittelpunkt enthalten.
Ich zeige daher folgendes, jede Menge [mm] $\mathcal [/mm] M$, die keine drei nichtkollineare Punkte enthält und mit je drei Punkten auch ihren Umkreismittelpunkt enthält, ist nicht endlich. Das zeige ich so, indem ich zu je zwei verschiedenen Punkten A, B aus [mm] $\mathcal [/mm] M$ einen Punkte C aus [mm] $\mathcal [/mm] M$ bestimme mit [mm] $\min(\overline{CA},\overline{CB})<\overline{AB}$, [/mm] dann gibt es keinen kleinsten Abstand zwischen den Punkten aus [mm] $\mathcal [/mm] M$ und daher ist diese Menge unendlich.
Sei [mm] $X_0$ [/mm] ein Punkt aus [mm] $\mathcal M\setminus\{A,B\}$, [/mm] dann sei für [mm] $i\geq [/mm] 1$ [mm] $X_{i}$ [/mm] der Umkreismittelpunkt des Dreiecks $A,B, [mm] X_{i-1}$. [/mm] Dann ist für [mm] $i\geq [/mm] 1$ das Dreieck [mm] $ABX_i$ [/mm] gleichschenklig mit Basis $AB=c$ und Basishöhe [mm] $h_i$. [/mm] Ist [mm] $\sphericalangle AX_i B\leq [/mm] 90°$, dann gilt [mm] $h_{i+1}=\frac{h_i^2-(\frac{c}{2})^2}{2h_i}<\frac{h_i}2$ [/mm] (wie eine kleine Rechnung zeigt).
Also wenn [mm] $X_i$ [/mm] "weit weg" von der Seite c ist, dann wird der Abstand im nächsten Schritt mehr als halbiert. Das heiss natürlich, dass für ein (endliches) i gelten muss, dass [mm] $\sphericalangle AX_i [/mm] B>90°$. Dann ist aber [mm] $\overline{AX_i}=\overline{BX_i}<\frac{\sqrt 2}{2}\overline{AB}$, [/mm] da [mm] $X_i$ [/mm] innerhalb des Thaleskreises über AB liegt. Diese [mm] $X_i$ [/mm] ist dann mein gesuchtes C.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moudi!
Schöne Lösung einmal wieder!
Ich habe es etwasd anders gelöst:
Nehmen wir an, die Menge [mm] ${\cal M}$ [/mm] sei endlich. Dann gibt es drei Punkte [mm] $A,B,C\in {\cal M}$, [/mm] sodass der Umkreisradius von $ABC$ minimal unter allen Radien von Umkreisen dreier Punkte aus [mm] ${\cal M}$ [/mm] ist. Sei $O$ der Umkreismittelpunkt von $ABC$ und es liegen $A,B,C$ in dieser Reihenfolge im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis. Wäre einer der Winkel [mm] $\angle BOA,\angle COB,\angle [/mm] AOC$ echt kleiner als [mm] $\frac{\pi}{3}$, [/mm] dann ist der entsprechede Umkreisradius von $ABO,BCO$ bzw. $COA$ kleiner als der des Umkreises von $ABC$ - Widerspruch zur Wahl von $ABC$. Also muss [mm] $\angle BOA=\angle COB=\angle AOC=\frac{\pi}{3}$ [/mm] gelten. Dann ist das Dreieck $ABC$ gleichseitig. In diesem Falle allerdings liegt der Umkreismittelpunkt von $ABO$ auf der Mittelsenkrechten von $AB$, die bereits durch $O$ und $C$ geht. Dies stellt einen Widerspruch zur Eigenschaft dar, dass keine drei Punkte aus [mm] ${\cal M}$ [/mm] auf einer Geraden liegen.
Ein wenig schnell und schwammig formuliert, aber ich wollte nur kurz meine Idee schildern.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Sa 07.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Auf deine Lösung wäre ich nie gekommen. Einen "kleinen Schönheitsfehler" hat sie, dass die Menge keine drei kollineare Punkte enthält ist eigentlich unwesentlich, denn auch in diesem Fall kann sie nicht abgeschlossen sein unter Umkreismittelpunktbildung. Deshalb sollte sich die Argumentation nicht zu sehr auf diesen Punkt abstützen.
mfG Moudi
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