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Forum "Vorkurs Zentralabitur NRW" - Aufgabe 17, GK, WTR
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Aufgabe 17, GK, WTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mi 22.11.2006
Autor: Marc

Aufgabe
Tabelle und Diagramme werden nachgeliefert, siehe daher Aufgabensammlung

Insektenpopulation
Modellhaft lässt sich die Entwicklung einer bestimmten Insektenpopulation folgendermaßen beschreiben:
Aus Eiern dieser Insektenart entwickeln sich zunächst innerhalb eines Monats Larven, die innerhalb eines Monats zu Insekten werden. Die Insekten legen wiederum nach einem Monat Eier und sterben anschließend.
Aus Beobachtungen von Biologen weiß man, dass aus 25% der Eier, die ein Insekt legt, Larven werden (die anderen 75% werden gefressen oder verenden) und dass sich die Hälfte der Larven zu vollständigen Insekten entwickelt (die andere Hälfte stirbt oder wird gefressen). Außerdem legt ein Insekt durchschnittlich 16 Eier.

[Diagramm]

a) Zu einem bestimmten Zeitpunkt werden 40 Eier, 20 Larven und 12 Insekten gezählt. Untersuchen Sie, wie sich die Anzahlen der Eier, Larven und Insekten im Laufe von 6 Monaten entwickelt. Schreiben Sie dazu die erste Rechnung in der Matrizenschreibweise auf und füllen Sie die nebenstehende Tabelle aus.


[Tabelle]

b) Die Populationen entwickeln sich in Form eines 3-monatigen Zyklus.
Begründen Sie diese Aussage anhand Ihrer Tabelle. Berechnen Sie dann jeweils die Anzahlen der Eier, Larven bzw. Insekten nach einem Jahr und nach zwei Jahren.

c) Zur Bekämpfung der Populationen steht ein Insektizid zur Verfügung, das die Fortpflanzung der Insekten so beeinflusst, dass ein Insekt nur noch eine kleinere Zahl von Eiern ablegt.
Bestimmen Sie die Anzahl an Eiern, die ein Insekt ablegen darf, wenn die Insektenpopulation langfristig stabil sein soll.

Tipp: Betrachten Sie die Entwicklung der Insektenpopulation unter der Bedingung, dass ein Insekt x Eier ablegt.

[Diagramm]
[Diagramm]

d) Die Insektenpopulation soll langfristig stabil bleiben. Leiten Sie einen Zusammenhang zwischen den Parametern a, b und c her, der diese langfristige Stabilität sichert.

e) Bilden Sie die dritte Potenz der in der Teilaufgabe (a) aufgestellten Übergangsmatrix. Begründen Sie damit die im Aufgabenteil (b) beschriebene zyklische Populationsentwicklung.

Quelle: []Aufgabensammlung genehmigter Abituraufgaben 2006, die auch die Vorgaben des Zentralabiturs 2007 erfüllen (PDF-Datei), Aufgabe 17.

        
Bezug
Aufgabe 17, GK, WTR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Di 10.04.2007
Autor: paet

Hat sich jmd. schon an diesen Aufgaben versucht? Ich wollte meine Ergebnisse mir euren vergleichen, und evtl. einen Ansatz finden, wie ich (c)) und d) lösen muss/könnte.


Danke :]



Bezug
                
Bezug
Aufgabe 17, GK, WTR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Do 27.03.2008
Autor: bmh


Bezug
        
Bezug
Aufgabe 17, GK, WTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Do 27.03.2008
Autor: bmh

Bin gerade dabei mich an diesen Aufgaben zu versuchen...

Ich habe absolut keine Idee, wie ich Aufgabe d) lösen soll... Kann mir da jm einen Hinweis auf den Ansatz geben?

Meine erste Idee war, dass ich einfach die absoluten Zahlen aus Aufgabe c) miteinander vergleiche und in ein Verhältniss setzte... Aber kann das wirklich die Lösung sein???

mfg,
bmh

Bezug
                
Bezug
Aufgabe 17, GK, WTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Do 27.03.2008
Autor: Kroni

Hi,

ja, die c und d hängen eng miteinande rzusammen

Du kannst doch sicher die Übergangsmatrix aus der ersten Teilaufgabe aufstllen. Nun, jetzt nennst du die 16, die im Diagramm stheen, nicht 16 sondern x. Dann kannst du eine neue Matrix daraus machen.

Nun, vlt. hast du ja gemerkt, dass das ganze Zyklisch abläuft. Damit die Population langfrisit stabil ist, muss, wenn A die Übergangsmatrix ist, gelten: A^3x=x. Was muss [mm] A^3 [/mm] dann sein?

Nun, allgemein, wenn das ganze nicht zyklisch ist, kannst du einfach sagen:

Nehmen wir mal einen Vektor v. Wenn das für alle Zeiten immer konstant sein soll, dann muss gelten: Av=v. Denn der Vektor v darf sich ja durch die Anwendung der Übergangsmatrix im Fall der Stabilität nicht ändern. Deshalb muss Av=v sein.

Ist dir das mit dem Gedanken klarer?

Liebe Grüße,

Kroni

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe 17, GK, WTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Do 27.03.2008
Autor: bmh

Hi,
also das was du geschrieben hast war mir im Grunde klar...

Die c) habe ich folgendermaßen gelöst:

- Übergangsmatrix mit x statt 16 aufgestellt
- Population nach 3 Monaten in Abhängigkeit von x berechnet
   [mm] \pmat{ 0 & 0 & x \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 40 \\ 20 \\ 12 } [/mm] = [mm] \pmat{ 12x \\ 10 \\ 10 } [/mm] usw...
- da die Population ja längerfristig konstant sein soll, habe ich dann 12x = [mm] 1,5x^2 [/mm] => x = 4 [mm] \pm [/mm] 4 herrausbekommen, das heißt, dass bei einer Halbierung der Eierquote die Population längerfristig konstant bleibt.

zu d) ist mir nur eingefallen, dass man die 3 "Übergangswerte" in ein Verhältnis packen könnte, bzw. a und b in Abhängigkeit von c ausdrücken könnte... ( Lösung: a = 1/32 c; b = 1/16 c) Ob aber diese Lösung allgemein gilt, weiß ich nicht. Kann mir jm sagen, ob dieser Weg richtig ist oder wie man die Aufgabe sonst löst?

Bezug
                                
Bezug
Aufgabe 17, GK, WTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 So 30.03.2008
Autor: Kroni


> Hi,

Hi,

>  also das was du geschrieben hast war mir im Grunde
> klar...
>  
> Die c) habe ich folgendermaßen gelöst:
>  
> - Übergangsmatrix mit x statt 16 aufgestellt
>  - Population nach 3 Monaten in Abhängigkeit von x
> berechnet
>     [mm]\pmat{ 0 & 0 & x \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ 40 \\ 20 \\ 12 }[/mm] = [mm]\pmat{ 12x \\ 10 \\ 10 }[/mm] usw...
>  - da die Population ja längerfristig konstant sein soll,
> habe ich dann 12x = [mm]1,5x^2[/mm] => x = 4 [mm]\pm[/mm] 4 herrausbekommen,
> das heißt, dass bei einer Halbierung der Eierquote die
> Population längerfristig konstant bleibt.

Die 8 stimmt. Mir ist aber noch nicht ganz klar, woher du dir die [mm] $1.5x^2$ [/mm] hernimmst. Hab die Rechnung nicht mehr im Kopf.

>  
> zu d) ist mir nur eingefallen, dass man die 3
> "Übergangswerte" in ein Verhältnis packen könnte, bzw. a
> und b in Abhängigkeit von c ausdrücken könnte... ( Lösung:
> a = 1/32 c; b = 1/16 c) Ob aber diese Lösung allgemein
> gilt, weiß ich nicht. Kann mir jm sagen, ob dieser Weg
> richtig ist oder wie man die Aufgabe sonst löst?


Was genau hast du denn da dann gerechnet? Die Idee dahinter ist, genau die selben Bedingungen wie oben aufzustellen, und das Gleichungssystem zu lösen. Heraus kommt dann ein Produkt, dass 1 sein muss. Versuch es nochmal, oder poste deinen Rechenweg=)

Liebe Grüße,

Kroni

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