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Forum "Lineare Algebra/Geometrie" - Aufgabe 18, GK, WTR
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Aufgabe 18, GK, WTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Fr 06.10.2006
Autor: Marc

Aufgabe
Gegeben sind die Gerade $g$ durch den Punkt $P(2 | 1 | -1)$ und den Richtungsvektor [mm] $\vec [/mm] a = [mm] \vektor{1\\2\\2}$ [/mm] und die Gerade [mm] $h_t$ [/mm] durch den Punkt $Q(9 | 12 | -2)$ und den Richtungsvektor [mm] $\vec b=\vektor{-1\\t\\3}, t\in\IR$. [/mm]

a) Bestimmen Sie $t$ so, dass sich die beiden Geraden schneiden, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$.
(Ergebnis: $t = -1$; $S( 6 | 9 | 7)$ ).

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von $Q$ die Entfernung [mm] $3\wurzel{11}$ [/mm] haben. Erstellen Sie dazu eine Skizze.
(Ergebnis: $A(6 | 9 | 7) = S$, $B(4 | 5 | 3)$ )

c) $Q'$ sei der Spiegelpunkt von $Q$ bzgl. der Geraden $g$. Tragen Sie $Q'$ in Ihre Skizze aus Teilaufgabe b) ein und berechnen Sie die Koordinaten von $Q'$.

d)
1. Geben Sie eine Koordinatengleichung der durch die Geraden $g$ und [mm] $h_{t = -1}$ [/mm] gebildeten Ebene $E$ an.

(mögliches Ergebnis: $8x - 5y + z = 10$)

2. Zeigen Sie, dass die Ebene $F$ mit $F: x + 2y + 2z = 29$ senkrecht auf der Ebene $E$ steht.

Quelle: []Aufgabensammlung genehmigter Abituraufgaben 2006, die auch die Vorgaben des Zentralabiturs 2007 erfüllen (PDF-Datei), Aufgabe 18.

        
Bezug
Aufgabe 18, GK, WTR: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:04 Mi 21.02.2007
Autor: Agiboogie

Hey habe eine Frage...
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Sie wurde uns als Hausaufgabe gestellt und da ich keinen Mathe-LK habe, kann ich Sache die wir früher gemacht haben gar nicht mehr. Kann mir jemand ein Lösung dieser Aufgabe anbieten und mir damit den morgigen Tag erleichtern :) ?
Danke im Voraus!

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Bezug
Aufgabe 18, GK, WTR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Do 22.02.2007
Autor: Zwerglein

Hi, Agi,

wie weit bist Du denn selbst gekommen?

mfG!
Zwerglein

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Bezug
Aufgabe 18, GK, WTR: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Sa 14.04.2007
Autor: G3RM4NY

Aufgabe
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von Q die Entfernung [mm] 3*\wurzel{11} [/mm] haben. Erstellen Sie dazu eine Skizze.
(Ergebnis: A(6 | 9 | 7) = S , B(4 | 5 | 3) $ )  

Ich bräuche Hilfe bei der Teilaufgabe 2. Ich kann mir zwar vorstellen und auch zeichnen was von mir verlangt wird, aber ich hab keine Ahnung wie ich das berechnen soll.
Bin für jeden Tipp dankbar.

Gruß,
G3RM4NY

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Bezug
Aufgabe 18, GK, WTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Sa 14.04.2007
Autor: Marc

Hallo,

> Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g,
> die von Q die Entfernung [mm]3*\wurzel{11}[/mm] haben. Erstellen Sie
> dazu eine Skizze.
>  (Ergebnis: A(6 | 9 | 7) = S , B(4 | 5 | 3) $ )
> Ich bräuche Hilfe bei der Teilaufgabe 2. Ich kann mir zwar
> vorstellen und auch zeichnen was von mir verlangt wird,
> aber ich hab keine Ahnung wie ich das berechnen soll.
>  Bin für jeden Tipp dankbar.

Eine Möglichkeit ist, den Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden g vom Punkt Q als Term darzustellen. Diesen Term kann Du dann dem gewünschten Abstand gleichsetzen.

Ein Punkt [mm] $X_t$ [/mm] auf der Geraden g hat den Ortvektor [mm] $\overrightarrow{0X_t}$=\vektor{2\\1\\-1}+t*\vektor{1\\2\\2}$. [/mm]
Sein Abstand vom Punkt Q berechnet sich zu [mm] $|\overrightarrow{X_tQ}|=\sqrt{(2+t-9)^2+(1+2t-12)^2 + (-1+2t+2)^2}$ [/mm]

Diesen Term setzt Du nun gleich [mm] $|\overrightarrow{X_tQ}|\stackrel{!}{=}3\wurzel{11}$ [/mm] und löst nach t auf.
Dieses t (bzw. diese ts) ist der Parameterwert zu den gesuchten Punkten auf der Geraden.

Viel Erfolg,
Marc

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Aufgabe 18, GK, WTR: Teilaufgabe c
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Di 25.03.2008
Autor: bmh

Hi,
ich bin dabei die ganzen Abitur-Aufgaben durchzurechnen...

Kann mir jm die Koordinaten von Q' geben? Ich komme einfach nicht zu einem sinnvollen Ergebnis.

Mein Weg ist folgender:
Ich habe mir eine Ebene erdacht, die den Stützvektor von g als Normalenvektor hat und durch Q geht. Durch Schneiden dieser Ebene mit der Geraden g habe ich dann einen Schnittpunkt Q" herrausbekommen. Wenn ich nun (kurzgesagt) die Strecke [mm] \overline{QQ"} [/mm] verdopple, müsste ich eigentlich eine Lösung für Q' erhalten...

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Aufgabe 18, GK, WTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Di 25.03.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Der  "Haken" an der Sache ist die Ebene. Mit der, die du nimmst, klappt es nicht. Wenn du die Ebene nimmst, die den Richtungsvektor von g als Normalenvektor hat und durch den Stützpunkt von g geht, klappt es.

Marius

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Aufgabe 18, GK, WTR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Mi 26.03.2008
Autor: bmh

Hi,
vielen Dank für die Hilfe!

Nachdem ich mich gerade mit klarem Kopf wieder hingesetzt hab, war die Aufgabe recht schnell gelöst.

Ich meinte natürlich den Richtungsvektor von g und nicht den Stützvektor!

Ich habe dann den Vektor [mm] \overline{QLotfusspunkt} [/mm] aufgestellt und dann zum Lotfußpunkt addiert. Nun ist die Lösung endlich sinnvoll.

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Aufgabe 18, GK, WTR: Vertiefung der Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mo 31.03.2008
Autor: ataxx

Hallo zusammen,

Ich bin auch zur Aufgabe c) gekommen.

Ich habe sie nun auch soweit gelöst, dass ich einen Wert für t herausgefunden habe um den Lotfußpunkt F zu errechen.
Diesen habe ich ebenfalls ausgerechnet.

Nun weiss ich jedoch nicht so recht wie ich weiter machen muss, um Q' herauszufinden.

Kann es sein, dass ich eine Gerade durch den Fußpunkt und Q ziehen muss und das t einfach verdoppeln muss um Q'' zu errechnen?

Gruß
Ataxx

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Aufgabe 18, GK, WTR: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Di 01.04.2008
Autor: Loddar

Hallo Ataxx,

[willkommenmr] !


> Kann es sein, dass ich eine Gerade durch den Fußpunkt und Q
> ziehen muss und das t einfach verdoppeln muss um Q'' zu
> errechnen?


[ok] Dann musst Du aber $Q_$ als Stützpunkt Deiner (Hilfs-)Geraden ansetzen. Denn mit dem Lotfußpunkt $F_$ als Stützvektor musst Du $-t_$ einsetzen.


Gruß
Loddar


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