matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathematik-WettbewerbeAufgabe #19
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #19
Aufgabe #19 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgabe #19: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 13:27 So 27.02.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Man bestimme alle Primzahlen $p$, für die [mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ [/mm] eine Quadratzahl ist.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #19: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 So 27.02.2005
Autor: moudi

Hallo Hanno

Ich betrachte zuerst den Ausdruck [mm] $2^{p-1}-1$ [/mm] für ungerade Primzahlen p (für $p=2$ ist ja [mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ [/mm] nicht ganz).

Da dann p-1 gerade ist, schreibe ich p-1=2k und erhalte: [mm] $2^{p-1}-1=2^{2k}-1={(2^k)}^2-1=(2^k+1)(2^k-1)$. [/mm] Diese Zahlen sind teilerfremd, da sie beide ungerade sind und sich nur um 2 unterscheiden.

Ist [mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ [/mm] eine Quadratzahl, dann muss mindestens eine der beiden Zahlen [mm] $2^k+1$, $2^k-1$ [/mm] auch eine Quadratzahl sein, denn genau eine von ihnen wird durch p geteilt und im einen Fall gilt

[mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}=\frac{2^k+1}{p}\cdot (2^k-1)$ [/mm] ist eine Quadratzahl; im anderene Fall

[mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}=(2^k+1)\cdot \frac{2^k-1}{p}$ [/mm] ist eine Quadratzahl, wobei in jedem Fall die

Faktoren teilerfremd sind. Das Produkt zweier teilerfremden Zahlen ist nur dann eine Quadratzahl, wenn jeder Faktor selber eine Quadratzahl ist.

Das führt dazu, dass man untersucht, für welche k die Zahl [mm] $2^k+1$ [/mm] rsp. [mm] $2^k-1$ [/mm] eine Quadratzahl ist.

a) Beh.: [mm] $2^k+1$ [/mm] ist nur für k=3 eine Quadratzahl.
   Bew.: Sei [mm] $2^k+1=x^2$, [/mm] dann gilt [mm] $2^k=x^2-1=(x+1)(x-1)$. [/mm] Daher ist
   $(x+1)(x-1)$ eine 2-er Potenz. Das geht nur, wenn x+1 und x-1 selber
   2-er Potenzen sind. Die Zahlen x+1 und x-1 unterscheiden sich nur
   um 2. Die einzigen 2-er Potenzen, die dass erfüllen sind 4 und 2,
   daher gilt  x=3 und [mm] $2^3+1=3^2$. [/mm] Also k=3.

b) Beh.: [mm] $2^k-1$ [/mm] ist nur für k=1 eine Quadratzahl.
   Bew.: Für k=1 ergibt sich 1 und für k=2 ergibt sich 3.
   Sei jetzt [mm] $k\geq [/mm] 2$ und [mm] $2^k-1=x^2$. [/mm] Schauen wir und diese Gleichung
   Modulo 4 an, dann ist [mm] $2^k-1 \mod 4=-1\equiv [/mm] 3$. Und x müsste eine Zahl
   sein, deren Quadrat 3 ist  Modulo 4. Das ist aber unmöglich, denn
   [mm] $0^2=0\mod [/mm] 4$, [mm] $1^2=1\mod [/mm] 4$, [mm] $2^2=0\mod [/mm] 4$, [mm] $3^2=1\mod [/mm] 4$.

Zurück zur Aufgabe. Ist also p>7, dann ist k>3 und in diesem Fall ist keine der Zahlen [mm] $2^k+1$ [/mm] rsp. [mm] $2^k-1$ [/mm] eine Quadratzahl und daher auch die ursprüngliche Zahl nicht.
Bleiben die Fälle p=3, p=5, p=7.
p=3: [mm] $\frac{2^2-1}{3}=1$ [/mm]  Quadrat
p=5: [mm] $\frac{2^4-1}{5}=3$ [/mm]
p=7: [mm] $\frac{2^6-1}{7}=9$ [/mm]  Quadrat

mfG Moudi

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #19: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 27.02.2005
Autor: Hanno

Hallo moudi!

Wahnsinn, genau so habe ich es auch gemacht! :-)

Eine schöne Aufgabe wie ich finde, die mehr als nur eine zündende Idee braucht.


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]