matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathematik-WettbewerbeAufgabe #22
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #22
Aufgabe #22 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgabe #22: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:17 Mo 28.02.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Es seien $a,b,c$ die Seitenlängen eines Dreieckes und $P$ sein Flächeninhalt. Zeige:

[mm] $\frac{ab+bc+ca}{4P}\geq\sqrt{3}$ [/mm]


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #22: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Fr 04.03.2005
Autor: moudi

Hallo Hanno

Ich habe bei dieser Aufgabe zuerst die Flächenformel [mm] $P=\frac{abc}{4r}$ [/mm] angewendet, (r Umkreisradius), dann ergibt sich
[mm] $\frac ra+\frac rb+\frac rc\geq\sqrt [/mm] 3$ und dann noch den Sinussatz [mm] $\frac a{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}=2r$ [/mm] und erhalte:
[mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}\geq 2\sqrt3$. [/mm]

Die geforderte Ungleichung ist daher zur letzten Ungleichung äquivalent.

Für das gleichseitige Dreieck gilt [mm] $\sin(\alpha)=\sin(\beta)=\sin(\gamma)=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt3}2$ [/mm] und daraus
[mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}=2\sqrt3$ [/mm] in diesem Fall gilt die Gleichheit.

Jetzt zeige ich, dass der Ausdruck [mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}$ [/mm] für das gleichseitige Dreieck minimal ist.

Sei jetzt ein beliebiges Dreieck gegeben. OBdA können wir annehmen, dass [mm] $\alpha\leq\beta\leq\gamma$ [/mm] ist.

a) Falls [mm] $\gamma>\frac{\pi}2$ [/mm] ist, dann verkleinern wir [mm] $\gamma$ [/mm] zu [mm] $\gamma'=\frac{\pi}2$ [/mm] und
   vergrössern gleichzeitig [mm] $\beta$ [/mm] zu [mm] $\beta'<\frac{\pi}{2}$ [/mm] um den gleichen Betrag.
   Dann gilt [mm] $\sin(\gamma')>\sin(\gamma)$ [/mm] und [mm] $\sin(\beta')>\sin(\beta)$ [/mm] und der Ausdruck
   [mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}$ [/mm] wird kleiner.

b) Wir dürfen daher [mm] $\alpha\leq\beta\leq\gamma\leq\frac{\pi}2$ [/mm] annehmen.
   Zuerst schauen wir einen kleinen Blick auf die Funktion [mm] $f(x)=\frac 1{\sin(x)}$ [/mm] für
   [mm] $0    gleichzeitig wird sie weniger "steil" (die absolute Steigung $|f'(x)|$
   nimmt ab). Daraus folgt für x<y, dass f(x)>f(y) und wenn x auf x'
   zunimmt und gleichzeitig y im gleichen Betrag auf y' abnimmt sodass
   [mm] $x'\leq [/mm] y'$, dass dann der Funktionswert f(x) auf f(x') stärker abnimmt als
   f(y) auf f(y') zunimmt. Mit anderen Worten f(x')+f(y')<f(x)+f(y).

   b1) Sei [mm] $\beta<\frac{\pi}{3}$, [/mm] dann vergrössern wir [mm] $\beta$ [/mm] auf [mm] $\beta'=\frac{\pi}{3}$ [/mm]
       und verkleinern [mm] $\gamma$ [/mm] um denselben Betrag auf [mm] $\gamma'>\frac{\pi}{3}$. [/mm]  Der Ausdruck
       [mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}$ [/mm] wird dann kleiner.

   b2) Sei [mm] $\beta>\frac{\pi}{3}$, [/mm] dann verkleinern wir [mm] $\beta$ [/mm] auf [mm] $\beta'=\frac{\pi}{3}$ [/mm]
       und vergrössern [mm] $\alpha$ [/mm] um denselben Betrag auf [mm] $\alpha'<\frac{\pi}{3}$. [/mm] Der Ausdruck
       [mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}$ [/mm] wird dann kleiner.

c) Wir dürfen daher [mm] $\alpha\leq\beta=\frac{\pi}{3}\leq\gamma\leq\frac{\pi}2$ [/mm] annehmen.
   Wir vergrössern [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $\alpha'=\frac{\pi}{3}$ [/mm] und verkleinern [mm] $\gamma$ [/mm] um
   denselben Betrag auf [mm] $\gamma'=\frac{\pi}{3}$. [/mm] Der Ausdruck
   [mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}$ [/mm] wird dann kleiner.

Damit ist gezeigt, dass sich für jedes Dreieck der Ausdruck [mm] $\frac1{\sin(\alpha)}+\frac1{\sin(\beta)}+\frac1{\sin(\gamma)}$ [/mm] verkleinern lässt zu [mm] $\frac1{\sin(\frac{\pi}{3})}+\frac1{\sin(\frac{\pi}{3})}+\frac1{\sin(\frac{\pi}{3})}=2\sqrt [/mm] 3$.

Hast du eine "elegantere" (und einfachere) Methode gefunden?

mfG Moudi

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #22: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Fr 04.03.2005
Autor: Hanno

Hallo moudi!

Ich habe deine Lösung noch nicht ganz durchgesehen, finde den Ansatz aber wirklich originell! Das merk ich mir :) [respekt2]

Ich habe die Aufgabe so gelöst:

Nach Heron gilt [mm] $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ [/mm] mit [mm] $s:=\frac{a+b+c}{2}$. [/mm] Ferner ist die zu beweisende Ungleichung äquivalent zu
[mm] $\frac{ab+bc+ca}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\geq\sqrt{3}$ [/mm]
[mm] $\gdw \frac{(ab+bc+ca)^2}{2\cdot s\cdot (8(s-a)(s-b)(s-c))}\geq [/mm] 3$

Nun werden zwei Ungleichungen angewandt:
-> Die Lehmus-Ungleichung: [mm] $abc\geq [/mm] (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=8(s-a)(s-b)(s-c)$
-> [mm] $(ab+bc+ca)^2\geq [/mm] 3abc(a+b+c)$

Dies ergibt die stärke Ungleichung

[mm] $\frac{3abc(a+b+c)}{2sabc}\geq [/mm] 3$
[mm] $\frac{3\cdot 2s}{2s}=3\geq [/mm] 3$


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe #22: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:06 Sa 05.03.2005
Autor: moudi

Hallo Hanno

Danke für deine Lösung. Ich kannte die Ungleichungen nicht.

mfG Moudi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]