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Aufgabe 26, GK, CAS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mi 22.11.2006
Autor: Marc

Aufgabe
Straßenbahn

Nach Angaben der Initiative „Pro-Bahn-Mitteldeutschland“ beträgt der Anteil der Schwarzfahrer im Nahverkehr 3 - 4 %. Informationen der Magdeburger Verkehrsbetriebe zufolge wurden im vergangenen Jahr ca. 62 Millionen Personen befördert, die Anzahl der ertappten Schwarzfahrer betrug – so konnte man in der Tageszeitung „Volksstimme“ lesen – 32000.

(a) Vergleichen Sie diese Zahlenwerte miteinander und kommentieren Sie das Ergebnis.

(b) Zwei Kontrolleure steigen an der Haltestelle „Nicolaiplatz“ in eine Bahn der Linie 10 in Richtung Zentrum und kontrollieren alle 42 Fahrgäste. An der Haltestelle „Alter Markt“ steigen sie in eineBahn der Linie 6 Richtung Diesdorf um, in der sie weitere 56 Fahrgäste überprüfen.

1. Berechnen Sie ausgehend von einem Schwarzfahreranteil von ca. 4% am gesamten Fahrgastaufkommen die Wahrscheinlichkeit, dass die Kontrolleure bei diesen beiden Kontrollen mindestens 2 Schwarzfahrer ertappen.

2. Untersuchen Sie, mit wie vielen Schwarzfahrern bei diesen beiden Kontrollen zu rechnen ist.

3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 42 Fahrgästen der Linie 10 kein Schwarzfahrer ist.

4. Ermitteln Sie rechnerisch, wie viele Personen überprüft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens einen Schwarzfahrer zu erwischen.

(c) Die Anzahl der Schwarzfahrer hält sich nur in Grenzen, wenn jeder Fahrgast mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p kontrolliert wird. Ist dieser Wert p zu klein, wird die Anzahl der Schwarzfahrer dramatisch ansteigen, ist der Wert zu hoch, gehen z. B. Einnahmen durch das „erhöhte Beförderungsentgelt“ in Höhe von 40 € verloren.

Im Folgenden betrachten wir einen Fahrgast, der ca. 52 Fahrten im Monat unternimmt
und gehen dabei von folgenden Annahmen aus:
• Der durchschnittliche Fahrpreis beträgt pro Fahrgast und Fahrt 1,20 €.
• Der Schwarzfahreranteil am gesamten Fahrgastaufkommen beträgt ca. 4%.
• Ein Schwarzfahrer wird ehrlich, wenn er bei seinen 52 Fahrten mindestens zweimal kontrolliert wird.
• Ein ehrlicher Fahrgast wird zum Schwarzfahrer, wenn er bei seinen 52 Fahrten überhaupt nicht kontrolliert wird.

1. Begründen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Schwarzfahrer ehrlich wird, durch den Term $1 - [mm] (1-p)^{52} [/mm] – [mm] 52p(1-p)^{51}$ [/mm] beschreiben lässt.

2. Begründen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ehrlicher Fahrgast zum Schwarzfahrer wird, durch den Term [mm] $(1-p)^{52}$ [/mm] beschreiben lässt.

3. Ermitteln Sie mit Hilfe eines zweistufigen Baumdiagramms einen Funktionsterm [mm] $P_1$ [/mm] in Abhängigkeit von p für die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Fahrgast am Ende des Monats Schwarzfahrer ist. [zur Kontrolle: [mm] $P_1 [/mm] = [mm] (1-p)^{52} [/mm] + [mm] 2,08p(1-p)^{51}$] [/mm]

4. Bestimmen Sie einen Funktionsterm [mm] $P_2$ [/mm] für die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Fahrgast am Ende des Monats ehrlicher Zahler ist.

5. Stellen Sie die beiden Funktionsterme mit dem ClassPad grafisch dar und beschreiben Sie jeweils den Verlauf des Grafen.

6. Ermitteln Sie, für welches p die Einnahmen pro Fahrgast maximal werden.

7. Untersuchen Sie, wie sich eine Verdoppelung des „erhöhten Beförderungsentgelts“ auswirkt.

Quelle: []Aufgabensammlung genehmigter Abituraufgaben 2006, die auch die Vorgaben des Zentralabiturs 2007 erfüllen (PDF-Datei), Aufgabe 26

        
Bezug
Aufgabe 26, GK, CAS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 Sa 24.11.2007
Autor: Goldloeckchen

ich habe echt leine ahnung, wei man die aufgabe löst. wäre nett, wenn du die beantworten könntest!!!schreibe nämlich bald ne matheklausur und kann das thema nicht. wäre super!

Bezug
                
Bezug
Aufgabe 26, GK, CAS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 So 06.01.2008
Autor: informix

Hallo Goldloeckchen und [willkommenmr],

> ich habe echt leine ahnung, wei man die aufgabe löst. wäre
> nett, wenn du die beantworten könntest!!!schreibe nämlich
> bald ne matheklausur und kann das thema nicht. wäre super!

Da du keine weiteren Anfragen gestellt hast, ist deine Frage wohl als erledigt zu betrachten.
Falls du aber immer noch daran interessiert bist, frage ein wenig detaillierter nach: siehe Forenregeln.

Gruß informix

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