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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #29
Aufgabe #29 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #29: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:41 So 27.03.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Für positive, reelle $x,y,z$ widerlege man die Ungleichung
[mm] $(xy+yz+zx)^2(x+y+z)\geq 9(x^2+y^2+z^2)$ [/mm]
und bestimme die größte reelle Zahl, die für 9 eingesetzt werden kann, sodass die Ungleichung gilt.



Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #29: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 Mi 30.03.2005
Autor: moudi

Hallo zusammen

Ich stelle die Ungleichung ein bisschen um und erhalte

[mm] $\frac{(xy+yz+zx)^2(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}\geq [/mm] 9$.

Ich betrachte jetzt die Funktion [mm] $f(x,y,z)=\frac{(xy+yz+zx)^2(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}$. [/mm]

Diese Funktion ist homogen vom Grad 3, d.h. $f(kx,ky,kz)=k^3f(x,y,z)$.

Weiter gilt $f(1,1,1)=9$ also gilt [mm] $f(k,k,k)=9k^3$. [/mm]

Lässt man jetzt k gegen 0 streben so strebt f(k,k,k) gegen 0, d.h. dass die Ungleichung nur für 0 an Stelle von 9 gilt.

mfG Moudi

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Aufgabe #29: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 30.03.2005
Autor: Hanno

Hallo moudi!

Eine tolle Lösung, wirklich klasse! Die Idee mit der Homogenität ist genial!


Liebe Grüße,
Hanno

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