Aufgabe #29 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:41 So 27.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Für positive, reelle $x,y,z$ widerlege man die Ungleichung
[mm] $(xy+yz+zx)^2(x+y+z)\geq 9(x^2+y^2+z^2)$
[/mm]
und bestimme die größte reelle Zahl, die für 9 eingesetzt werden kann, sodass die Ungleichung gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mi 30.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo zusammen
Ich stelle die Ungleichung ein bisschen um und erhalte
[mm] $\frac{(xy+yz+zx)^2(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}\geq [/mm] 9$.
Ich betrachte jetzt die Funktion [mm] $f(x,y,z)=\frac{(xy+yz+zx)^2(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}$.
[/mm]
Diese Funktion ist homogen vom Grad 3, d.h. $f(kx,ky,kz)=k^3f(x,y,z)$.
Weiter gilt $f(1,1,1)=9$ also gilt [mm] $f(k,k,k)=9k^3$.
[/mm]
Lässt man jetzt k gegen 0 streben so strebt f(k,k,k) gegen 0, d.h. dass die Ungleichung nur für 0 an Stelle von 9 gilt.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo moudi!
Eine tolle Lösung, wirklich klasse! Die Idee mit der Homogenität ist genial!
Liebe Grüße,
Hanno
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