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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #44 (GEO)
Aufgabe #44 (GEO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #44 (GEO): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:24 Do 19.05.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Es sei ABCD ein konvexes Sehnenviereck, R der Radius seines Umkreises, ferner Q sein Flächeninhalt. Man zeige:

(a)

[mm] $R^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{16\cdot Q^2}$ [/mm]

(b)

[mm] $R\geq\frac{(abcd)^\frac{3}{4}}{\sqrt{2}\cdot Q}$, [/mm]
wobei Gleichheit genau dann eintritt, wenn ABCD ein Quadrat ist.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #44 (GEO): Teil (a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Sa 21.05.2005
Autor: moudi

Hallo Hanno

Kurze Frage: Gibt es auch nicht konvexe Sehnenvierecke?

Um Teil (a) zu lösen brauche ich die Flächenformel [mm] $F=\frac{abc}{4R}$ [/mm] für das Dreieck und den Satz des Ptolemaios $ef=ac+bd$ des Sehnenvierecks (e= Diagonale AC, f=Diagonale BD).

Ich wende die Flächenformel für die Dreiecke ABC un CDA an und zähle zusammen, um die Vierecksfläche zu bekommen:
[mm] $Q=\frac{abe}{4R}+\frac{cde}{4R}=\frac{(ab+cd)e}{4R}$ [/mm]

Das Gleiche mache ich mit den Dreiecken BCD und DAB und erhalte:
[mm] $Q=\frac{bcf}{4R}+\frac{adf}{4R}=\frac{(ad+bc)f}{4R}$ [/mm]

Multiplizieren der beiden Gleichungen und Satz des Ptolemaios liefert das Gewünschte:
[mm] $Q^2=\frac{(ab+cd)(ad+bc)ef}{16R^2}=\frac{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{16R^2}$ [/mm]

mfG Moudi

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Aufgabe #44 (GEO): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Sa 21.05.2005
Autor: Hanno

Hallo Moudi!

Wie könnte es anders sein: völlig korrekt, so hab ich's auch gemacht. Die (b) ist nun auch nur noch ein Klaks, wenn man (a) bewiesen hat.


Liebe Grüße,
Hanno

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Bezug
Aufgabe #44 (GEO): Teil (b)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Sa 21.05.2005
Autor: moudi

Hallo Hanno

Ich habs gerade gemerkt. Man verwendet nur noch die Ungleichung des arithmetischen und geometrischen Mittels: [mm] $\frac{x+y}2\geq \sqrt{xy}$ [/mm] für x=ab, y=cd rsp. x=ac, y=bd rsp. x=ad, y=bc.

mfG Moudi

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Bezug
Aufgabe #44 (GEO): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 21.05.2005
Autor: Hanno

Hallo Moudi!

Genau! Super, damit wäre eine weitere Aufgabe gelöst ;) Du bist ja gar nicht zu bremsen :-)

Liebe Grüße,
Hanno

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