Aufgabe 5 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:44 Di 13.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Untersuche die Funktion f.
a) [mm] f(x)=e^{2x-1}-e^{x+1}
[/mm]
b) [mm] f(x)=2+3x-2^{x+1}
[/mm]
c) [mm] f(x)=\bruch{e^{3x}-1}{e^{x}}
[/mm]
d) [mm] f(x)=(x³-4)\cdot\\e^{x}
[/mm]
e) [mm] f(x)=x^{2}\cdot(ln(x)-2) [/mm] |
Quelle: Elemente der Mathematik
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Hallo Tyskie!
Auf was sollen diese Funktionen untersucht werden?
Vollständige Funktionsdiskussion mit Nullstellen, Extrema,Symmetrien,Wendepunkte und Monotonie?
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Di 20.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Angelika,
> Auf was sollen diese Funktionen untersucht werden?
>
> Vollständige Funktionsdiskussion mit Nullstellen,
> Extrema,Symmetrien,Wendepunkte und Monotonie?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") --- alles was dir einfällt
lg
Herby
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Hallo nochmal Tyskie!
Ich habe bei diesen Aufagaben schon eine Weile herumprobiert , aber ich finde sie sehr schwierig. Die Ableitungen habe ich geschafft, aber ich bin bei Exponentialgleichungen sehr aus der Übung!
Deshalb wage ich mich trotzdem noch daran, da ja bald Abgabetermin ist.
Schon bei der 1. Aufgabe habe ich Schwierigkeiten:
a) f(x) = [mm] e^{2x-1}-e^{x+1}
[/mm]
f'(x) = [mm] 2e^{2x-1}-e^{x+1}
[/mm]
[mm] 2e^{2x-1}-e^{x+1}=0
[/mm]
Muss man hier substituieren?
Habe keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll.
Oder kann ich einfach Logarithmieren? Etwa so:
(2x-1)log2e=(x+1)loge
2xlog2e-log2e=xloge+loge
x= [mm] \bruch{loge+log2e}{2log2e-loge} [/mm]
Ich weiß, eigenlich sollte dieses Wissen Voraussetzung sein, aber ich habe einfach zu große Lücken auf dem Gebiet.Wenn ich diese Gleichung lösen kann schaffe ich hoffentlich auch die anderen.
Bei der zweiten Aufgabe konnte ich die Nullstellen nur numerisch ermitteln, oder funktioniert es auf anders? Diese wären laut Newtons Näherungsverfahren an den Stellen 0 und 2. Stimmen diese annahmen?
Vielen Dank für deine Hilfe!
Grüße
Angelika
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Hallo Tyskie!
Deine Informationen haben mir sehr geholfen! Vielen Dank!
So ist es mir gelungen folgende Lösungsvorschläge auszuarbeiten:
a)
[mm] e^{2x-1}-e^{x+1}=0 [/mm]
Nullpunkt=2
Min.(1,30685;-5,02138)
x>1,30685 steigend
x<1,30685 fallend
f''(x)= [mm] 4e^{2x-1}-e^{x+1}
[/mm]
[mm] 4e^{2x-1}-e^{x+1}=0
[/mm]
[mm] e^{x+1}*(-1+4*e^{x-2})=0
[/mm]
x= 0,6137
[mm] f'''(x)=8e^{2x-1}-e^{x+1}
[/mm]
W.(0,6137;-3,766)
x>0,6137 konvex
x<0,6137 konkav
b)
Nullstellen(numerisch) x=0 und x=2
[mm] f'(x)=3-2^{x+1}*ln2
[/mm]
[mm] 3-2^{x+1}*ln2 [/mm] = 0
x = [mm] \bruch{-log2,164}{-log2} [/mm] = 1,1137
x>1,1137 fallend
x<1,1137 steigend
Max.1,1137;1,013)
Diese Diskussion ist Lückenhaft denn die 2.Ableitung gleich 0 gesetzt ergibt - unendlich.? Kein Wendepunkt? Konkav-Konvex?
c)
f(x)=[mm] \bruch{e^{3x}-1}{e^x} [/mm]
[mm] 0=\bruch{e^{3x}-1}{e^x} [/mm]
=[mm] 0=(e^{3x}-1)*\bruch{1}{e^x} [/mm]
Da [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] immer >0 ist habe ich:
[mm] e^{3x} [/mm] = 1 gemacht also x = 0 .
Stimmt diese Nullstelle?
[mm] f'(x)=2e^{2x}+e^{-x}
[/mm]
[mm] 2e^{2x}+e^{-x}=0
[/mm]
Da die Nullstellen für diese Ableitung total im Komplexen liegen, gibt es keine Extrema, oder? Heißt das auch, dass diese Funktion überall monoton steigend ist?
[mm] f''(x)=4e^{2x}-e^{-x}
[/mm]
[mm] 4e^{2x}-e^{-x}=0
[/mm]
[mm] e^{-x}*(-1+4e^{3x})=0
[/mm]
x= -0,462
[mm] f'''(x)=8e^{2x}+e^{-x}
[/mm]
W.(-0,462;-1,1903)
x>-0,462 konvex
x< -0,462 konkav
d)
Nullstelle: x = 1,5874
[mm] f'(x)=e^x*(3x^2+x^3-4)
[/mm]
Bei der Polynomdivision wundere ich mich über einiges:
[mm] x^3+3x^2-4 [/mm] : (x+2) = [mm] x^2+x-2
[/mm]
[mm] -(x^3+2x^2)
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] Warum schreibt man hier nicht sofort
[mm] -(x^2+2x) [/mm] die -4 herunter? Habe es probiert
-2x-4 aber die Rechnung ist nur so auf-
-(-2x-4) gegangen.
0
Sattelpunkt(-2;-1,624)
Min.(1;-8,1548)
x>0,449 Konvex
x< 0,449 konkav
x<1 fallend
x>1 steigend
W.(-4,449;-1,076)
W.(0,449;-6,125)
e)
Nullstelle: [mm] x=e^2
[/mm]
f'(x)=-3x+2x*lnx
-3x+2x*lnx = 0
[mm] \bruch{3x}{2x} = lnx[/mm]
x = [mm] e^{1,5}
[/mm]
[mm] x>e^{1,5} [/mm] steigend
[mm] x
[mm] Min.(e^{1,5};-19,0427)
[/mm]
f''(x)=2lnx-1
f'''=[mm] \bruch{2}{x} [/mm]
[mm] W.(e^{0,5};-4,077422)
[/mm]
[mm] x>e^{0,5} [/mm] konvex
[mm] x
Ich hoffe, es ist nicht allzuviel falsch. Es waren für mich wirklich sehr knifflige Aufgaben an denen ich jetzt eine ganze Weile gearbeitet habe.
Vielen Dank für deine Hilfe
Viele Grüße
Angelika
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Hi Angelika,
> Hallo Tyskie!
>
> Deine Informationen haben mir sehr geholfen! Vielen Dank!
>
Das freut mich.
> So ist es mir gelungen folgende Lösungsvorschläge
> auszuarbeiten:
>
> a)
> [mm]e^{2x-1}-e^{x+1}=0[/mm]
>
> Nullpunkt=2
> Min.(1,30685;-5,02138)
> x>1,30685 steigend
> x<1,30685 fallend
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f''(x)= [mm]4e^{2x-1}-e^{x+1}[/mm]
>
> [mm]4e^{2x-1}-e^{x+1}=0[/mm]
> [mm]e^{x+1}*(-1+4*e^{x-2})=0[/mm]
> x= 0,6137
> [mm]f'''(x)=8e^{2x-1}-e^{x+1}[/mm]
>
> W.(0,6137;-3,766)
> x>0,6137 konvex
> x<0,6137 konkav
>
> b)
>
> Nullstellen(numerisch) x=0 und x=2
> [mm]f'(x)=3-2^{x+1}*ln2[/mm]
>
> [mm]3-2^{x+1}*ln2[/mm] = 0
>
> x = [mm]\bruch{-log2,164}{-log2}[/mm] = 1,1137
> x>1,1137 fallend
> x<1,1137 steigend
> Max.1,1137;1,013)
>
> Diese Diskussion ist Lückenhaft denn die 2.Ableitung gleich
> 0 gesetzt ergibt - unendlich.? Kein Wendepunkt?
> Konkav-Konvex?
>
Richitg.
> c)
>
> f(x)=[mm] \bruch{e^{3x}-1}{e^x}[/mm]
>
> [mm]0=\bruch{e^{3x}-1}{e^x}[/mm]
>
> =[mm] 0=(e^{3x}-1)*\bruch{1}{e^x}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] immer >0 ist habe ich:
>
> [mm]e^{3x}[/mm] = 1 gemacht also x = 0 .
>
> Stimmt diese Nullstelle?
>
> [mm]f'(x)=2e^{2x}+e^{-x}[/mm]
>
> [mm]2e^{2x}+e^{-x}=0[/mm]
>
> Da die Nullstellen für diese Ableitung total im Komplexen
> liegen, gibt es keine Extrema, oder? Heißt das auch, dass
> diese Funktion überall monoton steigend ist?
>
Ja keine Extrema
> [mm]f''(x)=4e^{2x}-e^{-x}[/mm]
>
> [mm]4e^{2x}-e^{-x}=0[/mm]
>
> [mm]e^{-x}*(-1+4e^{3x})=0[/mm]
>
> x= -0,462
> [mm]f'''(x)=8e^{2x}+e^{-x}[/mm]
> W.(-0,462;-1,1903)
> x>-0,462 konvex
> x< -0,462 konkav
>
> d)
>
> Nullstelle: x = 1,5874
>
> [mm]f'(x)=e^x*(3x^2+x^3-4)[/mm]
>
> Bei der Polynomdivision wundere ich mich über einiges:
>
> [mm]x^3+3x^2-4[/mm] : (x+2) = [mm]x^2+x-2[/mm]
> [mm]-(x^3+2x^2)[/mm]
> [mm]x^2[/mm] Warum
> schreibt man hier nicht sofort
> [mm]-(x^2+2x)[/mm] die -4
> herunter? Habe es probiert
> -2x-4 aber die
> Rechnung ist nur so auf-
> -(-2x-4) gegangen.
> 0
>
> Sattelpunkt(-2;-1,624)
> Min.(1;-8,1548)
> x>0,449 Konvex
> x< 0,449 konkav
> x<1 fallend
> x>1 steigend
> W.(-4,449;-1,076)
> W.(0,449;-6,125)
>
Führ mal hier bitte die Rechung aus.
> e)
> Nullstelle: [mm]x=e^2[/mm]
>
> f'(x)=-3x+2x*lnx
>
> -3x+2x*lnx = 0
>
>
> [mm]\bruch{3x}{2x} = lnx[/mm]
>
> x = [mm]e^{1,5}[/mm]
> [mm]x>e^{1,5}[/mm] steigend
> [mm]x
>
> [mm]Min.(e^{1,5};-19,0427)[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") hier hast du dich beim y-Wert verrechnet lautet meinem plotter 
> f''(x)=2lnx-1
> f'''=[mm] \bruch{2}{x}[/mm]
>
> [mm]W.(e^{0,5};-4,077422)[/mm]
> [mm]x>e^{0,5}[/mm] konvex
>
> [mm]x
>
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
>
> Ich hoffe, es ist nicht allzuviel falsch. Es waren für mich
> wirklich sehr knifflige Aufgaben an denen ich jetzt eine
> ganze Weile gearbeitet habe.
>
Das hast du gut gemacht ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Die Aufgabe wo ich meinte dass du sie nochmal vorrechnen sollst, heisst nicht dass sie falsch ist da sie vorrechnen sollst. Ich will es nur sehen. Oder die ergebnisse mit kleinen kommentaren versehen.
> Vielen Dank für deine Hilfe
>
> Viele Grüße
>
> Angelika
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hallo Tyskie!
Vielen Dank für die Korrektur!
Bei d) bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Als ich durch Polynomdivision die quadratische Gleichung:
[mm] x^2+x-2=0 [/mm] erhalte hatte, habe ich die Mitternachtsformel verwendet:
[mm] x_1_,_2= \bruch{-1+- \wurzel{1-4*1*(-2)} }{2} [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = -2
[mm] x_2=1
[/mm]
Daraus folgt Sattelpunkt, Minimum sowie Monotonie.
Dann habe ich die 2. Ableitung gebildet:
[mm] f''(x)=e^x*(6x^2+6x+x^3-4)
[/mm]
[mm] e^x [/mm] ist wie du gesagt hast immer >0
[mm] 6x^2+6x+x^3-4 [/mm] : (x+2)= [mm] x^2+4x-2
[/mm]
[mm] -(x^3+2x^2)
[/mm]
[mm] 4x^2+6x
[/mm]
[mm] -(4x^2+8x)
[/mm]
-2x-4
-(-2x-4)
0
Bei dieser Polynomdivision stellt sich mir diese Frage nicht, die ich bei der vorigen hatte.
[mm] x_1_,_2= \bruch{-4+- \wurzel{16-4*1*(-2)} }{2} [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = -4,4494
[mm] x_2=0,449
[/mm]
So bin ich zu den Wendepunkten gekommen. Etwas ist mir aber sonderbar erschienen, Vorzeichenwechsel bei der 2. Ableitung finden nur bei 0,449
statt, nicht aber bei -4,4494. So habe ich auf konkav-konvexes Verhalten des Graphen geschlossen.
Bei der letzten Aufgabe müsste es richtig heißen:
[mm] Min.(e^{1,5};-10,0427)
[/mm]
Stimmen meine Überlegungen?
Grüße
Angelika
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