Aufgabe #53 (IrMO) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:36 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Die drei verschiedenen, reellen Zahlen $p,q,r$ erfüllen
(1) $q = p(4-p)$
(2) $r = q(4-q)$
(3) $p = r(4-r)$
Man finde alle möglichen Werte von $p+q+r$.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
Hier meine Lösung, hab den Tip und viel "Gewalt" verwendet.
q=p*(4-p)
r=q*(4-q)
p=r*(4-r)
a=p+q+r
b=p*q+p*r+q*r
c=p*q*r
[mm] a=p*(4-p)+q*(4-q)+r*(4-r)=4*p-p^{2}+4*q-q^{2}+4*r-r^{2}
[/mm]
[mm] a=4*a-(p^{2}+q^{2}+r^{2})
[/mm]
[mm] p^{2}+q^{2}+r^{2}=3*a
[/mm]
[mm] a^{2}=p^{2}+2*p*q+2*p*r+q^{2}+2*q*r+r^{2}=2*b+p^{2}+q^{2}+r^{2}=2*b+3*a
[/mm]
[mm] a^{2}=3*a+2*b
[/mm]
b=p*(4-p)*q*(4-q)+p*(4-p)*r*(4-r)+r*(4-r)*q*(4-q)
[mm] b=16*p*q-4*p*q^{2}-4*p^{2}*q+p^{2}*q^{2}+16*p*r-4*p*r^{2}-4*p^{2}*r+p^{2}*r^{2}+16*q*r-4*q^{2}*r-4*q*r^{2}+q^{2}*r^{2}
[/mm]
[mm] b=16*b+(p^{2}*q^{2}+p^{2}*r^{2}+q^{2}*r^{2})-4*(p*q^{2}+p^{2}*q+p*r^{2}+p^{2}*r+q^{2}*r+q*r^{2})
[/mm]
[mm] a*b=p^{2}*q+p^{2}*r+3*p*q*r+p*q^{2}+q^{2}*r+p*r^{2}+q*r^{2}=3*c+p^{2}*q+p^{2}*r+p*q^{2}+q^{2}*r+p*r^{2}+q*r^{2}
[/mm]
[mm] p^{2}*q+p^{2}*r+p*q^{2}+q^{2}*r+p*r^{2}+q*r^{2}=a*b-3*c
[/mm]
[mm] b=16*b+(p^{2}*q^{2}+p^{2}*r^{2}+q^{2}*r^{2})-4*(a*b-3*c)
[/mm]
[mm] p^{2}*q^{2}+p^{2}*r^{2}+q^{2}*r^{2}=4*(a*b-3*c)-15*b
[/mm]
[mm] b^{2}=p^{2}*q^{2}+2*p^{2}*q*r+2*p*q^{2}*r+p^{2}*r^{2}+2*p*r^{2}*q+q^{2}*r^{2}
[/mm]
[mm] b^{2}=p^{2}*q^{2}+p^{2}*r^{2}+q^{2}*r^{2}+2*p*q*r*(p+q+r)
[/mm]
[mm] b^{2}=p^{2}*q^{2}+p^{2}*r^{2}+q^{2}*r^{2}+2*a*c
[/mm]
[mm] b^{2}=4*(a*b-3*c)-15*b+2*a*c
[/mm]
c=p*(4-p)*q*(4-q)*r*(4-r)
[mm] c=64*p*q*r-16*p*r^{2}*q-16*p*q^{2}*r+4*p*q^{2}*r^{2}-16*p^{2}*q*r+4*p^{2}*q*r^{2}+4*p^{2}*q^{2}*r-p^{2}*q^{2}*r^{2}
[/mm]
[mm] c=64*c-16*a*c+4*b*c-c^{2}
[/mm]
[mm] c^{2}=63*c-16*a*c+4*b*c
[/mm]
[mm] a^{2}=3*a+2*b
[/mm]
[mm] b^{2}=4*(a*b-3*c)-15*b+2*a*c
[/mm]
[mm] c^{2}=63*c-16*a*c+4*b*c
[/mm]
[mm] b=1/2*(a^{2}-3*a)
[/mm]
[mm] b^{2}=4*(a*b-3*c)-15*b+2*a*c
[/mm]
[mm] c^{2}=63*c-16*a*c+2*(a^{2}-3*a)*c
[/mm]
[mm] c^{2}=63*c-16*a*c+2*(a^{2}-3*a)*c
[/mm]
c=0 v [mm] c=63-16*a+2*(a^{2}-3*a)
[/mm]
p=0 v q=0 v r=0 v [mm] b^{2}=4*(a*b-3*(63-16*a+2*(a^{2}-3*a)))-15*b+2*a*(63-16*a+2*(a^{2}-3*a))
[/mm]
wenn eines der drei variablen p, q oder r null ist, sind alle null.
a=0 v [mm] b^{2}=4*a*b-756+390*a-68*a^{2}-15*b+4*a^{3}
[/mm]
a=0 v [mm] (1/2*(a^{2}-3*a))^{2}=4*a*(1/2*(a^{2}-3*a))-756+390*a-68*a^{2}-15*(1/2*(a^{2}-3*a))+4*a^{3}
[/mm]
a=0 v [mm] 1/4*a^{4}-3/2*a^{3}+9/4*a^{2}=6*a^{3}-163/2*a^{2}-756+825/2*a
[/mm]
a=0 v [mm] 0=-30*a^{3}+335*a^{2}+3024-1650*a+a^{4}
[/mm]
a=0 v 0=(a-6)*(a-7)*(a-8)*(a-9)
a=0 v a=6 v a=7 v a=8 v a=9
Also kann p+q+r die Werte 0, 6, 7, 8 und 9 annehmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mi 09.11.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Mario
Ich habe die Aufgabe auch gelöst, mehr oder weniger gleich wie du. Ich habe aber für a, b, c ein einfacheres Gleichungssystem bekommen und daher die Lösung a=8 nicht bekommen.
Ich habe deine Rechnungen nachgeprüft und sie stimmen. Bei nichtlinearen Gleichungssystemen muss man auf alle Fälle prüfen, ob nicht Scheinlösungen aufgetreten sind. Ausserdem ist dein Gleichungssystem für a, b, c nicht vollständig gelöst. Wenn c=0 ist, dann gibt es für a und b noch andere Lösungen, aber wie du richtig bemerkst, ist in diesem Fall im ursprünglichen Gleichungssystem nur p=q=r=0 möglich.
Du musst daher auch die anderen Werte von a überprüfen!
Im Fall a=8 ergibt sich b=20 und c=15
p+q+r=a (=15)
pq+pr+qr =b (=20)
pqr=c (=15)
Nach dem Satz von Vieta, sind p,q,r gerade die Lösungen der Gleichung
[mm] $x^3-ax^2+bx-c=0$.
[/mm]
In diesem Fall daher [mm] $x^3-8x^2+20x-15=0$ [/mm] mit den Lösungen [mm] $x_1=3, x_2=\frac{5+\sqrt5}{2}, x_3=\frac{5-\sqrt5}{2}$. [/mm] Diese Werte sind aber für p, q, r unmöglich, deshalb fällt die Möglichkeit a=8 weg.
Die anderen Lösungen für a sind ok.
Es gilt daher a=0 oder a=6 oder a=7 oder a=9.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
ach gut. als ich nämlich zur überprüfung das ganze von maple lösen lies, kam es nur auf deine lösungen, und ich hab mich schon gewundert...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Di 19.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man substituiere $a=x+y+z, b=xy+yz+zx$ und $c=xyz$ und versuche durch geschicktes Umformen drei Gleichungen in $a,b,c$ zu erhalten.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
