Aufgabe #76 (IMC),(LinA) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:21 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum und [mm] $A:V\to [/mm] V$ ein linearer Operator mit [mm] $A^2=E$.
[/mm]
(a) Man zeige, dass $A$ diagonalisierbar ist.
(b) Man finde die größtmögliche Anzahl paarweise kommutierender, linearer Operatoren [mm] $A:V\to [/mm] V$ mit [mm] $A^2=E$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:57 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
a) Das Minimalpolynom lautet [mm] $MP_A(t)=(t-1)(t+1)$ [/mm] (oder [mm] $MP_A(t)=t-1$ [/mm] oder [mm] $MP_A(t)=t+1$), [/mm] zerfällt also in paarweise verschiedene Linearfaktoren.
b) Solche Operatoren sind simultan diagonalisierbar, siehe hier. Als Diagonalmatrizen kommen nach a) nur Matrizen in Frage, die $1$en und $-1$en auf der Diagonalen haben. Dies sind maximal [mm] $2^n$ [/mm] Stück.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Zu (a)
Es kann doch auch $A=E$ oder $A=-E$ sein, oder? Dann wäre [mm] $\mu [/mm] _A(x)=x-1$ bzw. [mm] $\mu [/mm] _A(x)=x+1$. Das ändert aber natürlich an der Tatsache, dass $A$ diagonalisierbar ist, nichts.
Zu (b)
Die Lösung ist richtig. Ich selbst konnte das nicht lösen, werde mir aber gleich mal den Link ansehen, den du gleich mitgepostet hast [danke!].
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Das ist wirklich höchst interessant, die Sache mit der simultanen Diagonalisierbarkeit! Danke nochmals für den Link zum Beweis (welchen ich jetzt durchgelesen habe), ich werde mir diesen Sachverhalt [hoffentlich] auf Dauer merken!
Eine Frage noch: die Aussage gilt aber doch für alle $K$-Räume, oder? Entweder ich habe Tomaten auf den Augen oder es gibt wirklich nichts, was die Eigenschaften der reellen Zahlen forderte.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Auch hier hast du vollkommen Recht mit deiner Anmerkung; ich werde meinen Fehler jetzt ebenfalls mal verbessern, Danke.
War wohl doch etwas zu spät gestern... 
Liebe Grüße
Stefan
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