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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #85 (?),(?)
Aufgabe #85 (?),(?) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #85 (?),(?): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 09:42 Sa 27.08.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Man schreibe die Zahlen 0,1,2,...,2005 in eine Reihe; unter je zwei benachbarte dieser Zahlen schreibe man ihre Summe - man erhält auf diese Weise eine weitere Reihe von nun noch 2005 Zahlen. Dies führe man noch weitere 2004 Male durch, bis in der 2006-ten Reihe noch eine Zahl steht.  Man bestimme diese Zahl.

Es geht also so los:

0  1  2  3  4 ... 2004  2005
1  3   5  7  ...   4009
  4   8  12 ...

Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #85 (?),(?): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Sa 27.08.2005
Autor: KaiAhnung

Hallo Hanno

> Man schreibe die Zahlen 0,1,2,...,2005 in eine Reihe; unter
> je zwei benachbarte dieser Zahlen schreibe man ihre Summe -
> man erhält auf diese Weise eine weitere Reihe von nun noch
> 2005 Zahlen. Dies führe man noch weitere 2004 Male durch,
> bis in der 2006-ten Reihe noch eine Zahl steht.  Man
> bestimme diese Zahl.
>  
> Es geht also so los:
>  
> 0  1  2  3  4 ... 2004  2005
>   1  3   5  7  ...   4009
>    4   8  12 ...

Ist die erste Reihe 0 1 2 ... n, so ergibt sich [mm]n\cdot{}2^{n-1}[/mm] in der letzten Reihe.

Beweis durch Induktion:
Ind.-Anfang: Für die Reihe 0 1 ist das Ergebnis [mm]1=1\cdot{}2^{1-1}[/mm]

Ind.-Schritt: Sei die Bedingung für n erfüllt.
Die Koeffizienten in dem "Dreieck" mit der ersten Reihe 1 2 3 ... n+1 entsprechen genau denen mit erster Reihe 0 1 2 ... n plus denen die sich bei 1 1 1 .... 1 (n+1 mal) in der ersten Reihe ergeben.

Die Koeffizienten mit 1 1 1 ... 1 in der ersten Reihe entsprechen in der i-ten Reihe genau der 2-er Potenz [mm]2^{i-1}[/mm] (2 benachbarte 2-er Potenzen werden zur nächsthöheren aufsummiert).

Für die letzte Reihe von 1 2 3 ... n+1 ergibt sich also [mm]n\cdot{}2^{n-1}+2^n[/mm].

Die "Spitzen" der beiden Dreiecke mit 0 1 2 .... n bzw. 1 2 3 ... n+1 als erste Zeile sind genau benachbart. Ihre Summe ist [mm](n+1)\cdot{}2^{n}[/mm].

Das Ergebnis lautet also [mm]2005\cdot{}(2^{2004})[/mm].

MfG
Jan

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #85 (?),(?): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 So 28.08.2005
Autor: Hanno

Hallo Jan!

Wunderbare Lösung, so ähnlich (ebenfalls mit Induktion) habe ich es auch gelöst!


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
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