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Aufgabe Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 So 05.02.2017
Autor: ChopSuey

Aufgabe
In einer Werkzeugfabrik werden Schrauben hergestellt. Eine Schraube sei unbrauchbar, wenn ihr Durchmesser um mehr als 0,5 vom Mittel abweicht. Die Zufallsvariable, wlche die Anzahl der unbrauchbaren Schrauben beschreibt, sei annähernd Normalverteilt mit dem Mittelwert von 20mm und $ [mm] \sigma=0,8mm^2$ [/mm]

a) Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Schrauben in Prozent

b) Welchen Wert hat $ [mm] \sigma$ [/mm] bei einem Ausschuss von 20%?


Hallo,

bei obiger Aufgabe hätte ich ein paar Fragen. Zunächst:

Um zu ermitteln, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Schraube unbrauchbar ist, muss ich ja $ [mm] P(\text{Außerhalb Toleranzbereich}) [/mm] = 1 - [mm] P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) [/mm] = 1- [mm] P(\mu [/mm] -0,5 < X [mm] \le \mu [/mm] + 0,5)$ mit $ [mm] \mu [/mm] = 20mm$ berechnen. Also

[mm] $P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) [/mm] = 1- P(15mm < X [mm] \le [/mm] 25mm)$  

Sei $ [mm] z_i [/mm] = [mm] \frac{a_i-\mu}{\sigma} [/mm] $ die standardisierung der Zufallsvariable mit $ [mm] a_1 [/mm] = 15mm, [mm] a_2 [/mm] = 25mm$, dann gilt

[mm] $P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) [/mm] = 1- [mm] P(\frac{15-20}{0,8} [/mm]  < [mm] X_s \le \frac{25-20}{0,8})= [/mm] 1- P(-6,25  < [mm] X_s \le [/mm] 6,25) [mm] \approx [/mm] 1 - [mm] \left(\Phi(-6,25)-\Phi(6,25)\right)$ [/mm] wobei $ [mm] X_s [/mm] = [mm] \frac{X-\mu}{\sigma}$ [/mm]

Sind meine Überlegungen soweit richtig? Es ist ja $ [mm] \Phi(6,25) \approx [/mm] 1 $, demnach wäre das Ergebnis ja $ [mm] \approx [/mm] 0 $, aber irgendwas stimmt da nicht. Gefragt war ja nach dem Anteil der unbrauchbaren Schrauben in Prozent. Ich weiß nicht, wie ich mit meinem Ansatz zur Lösung komme.

Kann mir jemand helfen?

Freue mich über jeden Hinweis!

LG,
ChopSuey

        
Bezug
Aufgabe Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 So 05.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> In einer Werkzeugfabrik werden Schrauben hergestellt. Eine
> Schraube sei unbrauchbar, wenn ihr Durchmesser um mehr als
> 0,5 vom Mittel abweicht. Die Zufallsvariable, wlche die
> Anzahl der unbrauchbaren Schrauben beschreibt, sei
> annähernd Normalverteilt mit dem Mittelwert von 20mm und
> [mm]\sigma=0,8mm^2[/mm]

Da kann schonmal etwas nicht stimmen. Wenn die Zufallsvariable eine Anzahl beschreibt, so können ihre Maßzahlen schwerlich die Dimension mm bzw. [mm] mm^2 [/mm] aufweisen. Laut Kristallkugel beschreibt die Zufallsvariable den Durchmesser der Schrauben, richtig?

> a) Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Schrauben in
> Prozent

>

> b) Welchen Wert hat [mm]\sigma[/mm] bei einem Ausschuss von 20%?

>

> Hallo,

>

> bei obiger Aufgabe hätte ich ein paar Fragen. Zunächst:

>

> Um zu ermitteln, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
> eine Schraube unbrauchbar ist, muss ich ja
> [mm]P(\text{Außerhalb Toleranzbereich}) = 1 - P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(\mu -0,5 < X \le \mu + 0,5)[/mm]
> mit [mm]\mu = 20mm[/mm] berechnen. Also

>

> [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(15mm < X \le 25mm)[/mm]

>
>

> Sei [mm]z_i = \frac{a_i-\mu}{\sigma}[/mm] die standardisierung der
> Zufallsvariable mit [mm]a_1 = 15mm, a_2 = 25mm[/mm], dann gilt

>

> [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(\frac{15-20}{0,8} < X_s \le \frac{25-20}{0,8})= 1- P(-6,25 < X_s \le 6,25) \approx 1 - \left(\Phi(-6,25)-\Phi(6,25)\right)[/mm]
> wobei [mm]X_s = \frac{X-\mu}{\sigma}[/mm]

>

> Sind meine Überlegungen soweit richtig?

Nein, da hast du dich in zweierlei Hinsicht vertan. Zum einen ist das mit dem Gegenereignis an dieser Stelle falsch, zum anderen bist du um eine Zehnerpotenz verrutscht. Es sollte

[mm] P(\text{innerhalb Toleranzbereich})=P\left(\frac{19.5-20}{0.8}\le{X_S}\le\frac{20.5-20}{0.8}\right) [/mm]

heißen.

> Es ist ja
> [mm]\Phi(6,25) \approx 1 [/mm], demnach wäre das Ergebnis ja
> [mm]\approx 0 [/mm], aber irgendwas stimmt da nicht. Gefragt war ja
> nach dem Anteil der unbrauchbaren Schrauben in Prozent. Ich
> weiß nicht, wie ich mit meinem Ansatz zur Lösung komme.

>

> Kann mir jemand helfen?

Vermutlich waren es doch nur die oben aufgezeigten Fehler, würde ich sagen.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Aufgabe Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 So 05.02.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Diophant,

vielen Dank für deine Antwort und Korrektur!

> Hallo,
>  
> > In einer Werkzeugfabrik werden Schrauben hergestellt. Eine
>  > Schraube sei unbrauchbar, wenn ihr Durchmesser um mehr

> als
>  > 0,5 vom Mittel abweicht. Die Zufallsvariable, wlche die

>  > Anzahl der unbrauchbaren Schrauben beschreibt, sei

>  > annähernd Normalverteilt mit dem Mittelwert von 20mm

> und
>  > [mm]\sigma=0,8mm^2[/mm]

>  
> Da kann schonmal etwas nicht stimmen. Wenn die
> Zufallsvariable eine Anzahl beschreibt, so können ihre
> Maßzahlen schwerlich die Dimension mm bzw. [mm]mm^2[/mm] aufweisen.
> Laut Kritallkugel beschreibt die Zufallsvariable den
> Durchmesser der Schrauben, richtig?

Tatsächlich steht auf dem Aufgabenblatt, dass die Zufallsvariable die Anzahl der unbrauchbaren Schrauben beschreibe. Wird wohl ein Fehler des Autors gewesen sein. Du hast natürlich Recht damit, dass das keinen Sinn ergibt.

>  
> > a) Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Schrauben in
>  > Prozent

>  >
>  > b) Welchen Wert hat [mm]\sigma[/mm] bei einem Ausschuss von 20%?

>  >
>  > Hallo,

>  >
>  > bei obiger Aufgabe hätte ich ein paar Fragen.

> Zunächst:
>  >
>  > Um zu ermitteln, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist,

> dass
>  > eine Schraube unbrauchbar ist, muss ich ja

>  > [mm]P(\text{Außerhalb Toleranzbereich}) = 1 - P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(\mu -0,5 < X \le \mu + 0,5)[/mm]

>  
> > mit [mm]\mu = 20mm[/mm] berechnen. Also
>  >
>  > [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(15mm < X \le 25mm)[/mm]

>  
> >
>  >
>  > Sei [mm]z_i = \frac{a_i-\mu}{\sigma}[/mm] die standardisierung

> der
>  > Zufallsvariable mit [mm]a_1 = 15mm, a_2 = 25mm[/mm], dann gilt

>  >
>  > [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(\frac{15-20}{0,8} < X_s \le \frac{25-20}{0,8})= 1- P(-6,25 < X_s \le 6,25) \approx 1 - \left(\Phi(-6,25)-\Phi(6,25)\right)[/mm]

>  
> > wobei [mm]X_s = \frac{X-\mu}{\sigma}[/mm]
>  >
>  > Sind meine Überlegungen soweit richtig?

>  
> Nein, da hast du dich um eine Zehnerpotenz vertan. Es
> sollte
>  
> [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich})=1-P\left(\frac{19.5-20}{0.8}\le{X_S}\le\frac{20.5-20}{0.8}\right)[/mm]
>  
> heißen.

Ohman. Natürlich. Ich hab's einfach nicht gesehen. Auch beim zweiten Rechnen ist mir derselbe Fehler unterlaufen.

>  
> > Es ist ja
>  > [mm]\Phi(6,25) \approx 1 [/mm], demnach wäre das Ergebnis ja

>  > [mm]\approx 0 [/mm], aber irgendwas stimmt da nicht. Gefragt war

> ja
>  > nach dem Anteil der unbrauchbaren Schrauben in Prozent.

> Ich
>  > weiß nicht, wie ich mit meinem Ansatz zur Lösung

> komme.
>  >
>  > Kann mir jemand helfen?

>  
> Vermutlich war es doch nur der oben aufgezeigte Fehler,
> würde ich sagen.

Die Werte ergeben nun Sinn. Vielen Dank für deine Hilfe! Ich melde mich, falls ich Fragen zum Aufgabenteil b) haben sollte

>  
>
> Gruß, Diophant

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Aufgabe Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 So 05.02.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Diophant,

> Hallo,
>  
> > In einer Werkzeugfabrik werden Schrauben hergestellt. Eine
>  > Schraube sei unbrauchbar, wenn ihr Durchmesser um mehr

> als
>  > 0,5 vom Mittel abweicht. Die Zufallsvariable, wlche die

>  > Anzahl der unbrauchbaren Schrauben beschreibt, sei

>  > annähernd Normalverteilt mit dem Mittelwert von 20mm

> und
>  > [mm]\sigma=0,8mm^2[/mm]

>  
> Da kann schonmal etwas nicht stimmen. Wenn die
> Zufallsvariable eine Anzahl beschreibt, so können ihre
> Maßzahlen schwerlich die Dimension mm bzw. [mm]mm^2[/mm] aufweisen.
> Laut Kristallkugel beschreibt die Zufallsvariable den
> Durchmesser der Schrauben, richtig?
>  
> > a) Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Schrauben in
>  > Prozent

>  >
>  > b) Welchen Wert hat [mm]\sigma[/mm] bei einem Ausschuss von 20%?

>  >
>  > Hallo,

>  >
>  > bei obiger Aufgabe hätte ich ein paar Fragen.

> Zunächst:
>  >
>  > Um zu ermitteln, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist,

> dass
>  > eine Schraube unbrauchbar ist, muss ich ja

>  > [mm]P(\text{Außerhalb Toleranzbereich}) = 1 - P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(\mu -0,5 < X \le \mu + 0,5)[/mm]

>  
> > mit [mm]\mu = 20mm[/mm] berechnen. Also
>  >
>  > [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(15mm < X \le 25mm)[/mm]

>  
> >
>  >
>  > Sei [mm]z_i = \frac{a_i-\mu}{\sigma}[/mm] die standardisierung

> der
>  > Zufallsvariable mit [mm]a_1 = 15mm, a_2 = 25mm[/mm], dann gilt

>  >
>  > [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich}) = 1- P(\frac{15-20}{0,8} < X_s \le \frac{25-20}{0,8})= 1- P(-6,25 < X_s \le 6,25) \approx 1 - \left(\Phi(-6,25)-\Phi(6,25)\right)[/mm]

>  
> > wobei [mm]X_s = \frac{X-\mu}{\sigma}[/mm]
>  >
>  > Sind meine Überlegungen soweit richtig?

>  
> Nein, da hast du dich in zweierlei Hinsicht vertan. Zum
> einen ist das mit dem Gegenereignis an dieser Stelle
> falsch, zum anderen bist du um eine Zehnerpotenz
> verrutscht. Es sollte
>  
> [mm]P(\text{innerhalb Toleranzbereich})=P\left(\frac{19.5-20}{0.8}\le{X_S}\le\frac{20.5-20}{0.8}\right)[/mm]
>  
> heißen.

Ja, natürlich. Ich habe beim "Copy & Pasten" vergessen, dass wir ja $ [mm] P(\text{Außerhalb Toleranzbereich}) [/mm] $ ermitteln wollen. Ich meinte das richtige, schrieb aber das falsche. Danke für den Hinweis

>  
> > Es ist ja
>  > [mm]\Phi(6,25) \approx 1 [/mm], demnach wäre das Ergebnis ja

>  > [mm]\approx 0 [/mm], aber irgendwas stimmt da nicht. Gefragt war

> ja
>  > nach dem Anteil der unbrauchbaren Schrauben in Prozent.

> Ich
>  > weiß nicht, wie ich mit meinem Ansatz zur Lösung

> komme.
>  >
>  > Kann mir jemand helfen?

>  
> Vermutlich waren es doch nur die oben aufgezeigte Fehler,
> würde ich sagen.
>  
>
> Gruß, Diophant

Vielen Dank, Diophant!

LG,
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 So 05.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Vielen Dank, Diophant!

Gerne. Auch ich habe ja ein wenig Verwirrung reingebracht durch mein Nacheditieren. Ich habe seit ca. einer 1 Woche eine neue Tastatur (mit der ich nicht klarkomme) und muss mich so darauf konzentrieren, meine Tippfehler auszubesseren, dass für die eigentliche Frage dann manchmal zwei Anläufe notwendig sind...

Gruß, Diophant

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