Aufgabe Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bei Aufgaben folgen Typs komme ich nicht so wirklich weiter. Vielleicht könnt Ihr mir ja helfen:
Der Benzinverbrauch pro 100 km (in Liter) kann - je nach Fahrzeugtyp - als normalverteilte Zufallsgröße mit entsprechenden Parametern angesehen werden. Für den Typ A seien die Parameter [mm]u_A=8,3; \sigma^2_A=1,5 [/mm], für den Typ B [mm]u_B=7,9; \sigma^2_B=1,7 [/mm].
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Fahrzeug A mehr als 8,5 l bei einer 100-km-Fahrt verbraucht?
Versuch ichs mal:
P(X > 8,5) = 1 - P(X <= 8,5)
[mm]
= 1 - \Phi(\bruch{8,3-8,5}{ \wurzel{1,5}}) = 1 - 1 + 0,536 = 0,536
[/mm]
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fahrzeug A auf einer 100-km-Fahrt weniger als Fahrzeug B verbraucht?
Muß ich hier vielleicht die beiden Normalverteilungen Subtrahieren? Also marke
N(-0,4;0,2) = N(7,9;1,7) - N(8,3;1,5)
und dann damit weiterrechnen:
P(X <= 0)
[mm]
= \Phi(\bruch{-0,4-0}{ \wurzel{0,2}}) = 1 - 0,813 = 0,187
[/mm]
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Hallo Tobias!
Findest Du es eigentlich nicht auch ein wenig dreist, dass Du gleich 4 Aufgaben auf einmal innerhalb eines Tages hier reinstellst?
Na ja, mal sehen, was wir tun können...
> Der Benzinverbrauch pro 100 km (in Liter) kann - je nach
> Fahrzeugtyp - als normalverteilte Zufallsgröße mit
> entsprechenden Parametern angesehen werden. Für den Typ A
> seien die Parameter [mm]u_A=8,3; \sigma^2_A=1,5 [/mm], für den Typ B
> [mm]u_B=7,9; \sigma^2_B=1,7 [/mm].
>
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das
> Fahrzeug A mehr als 8,5 l bei einer 100-km-Fahrt
> verbraucht?
>
> Versuch ichs mal:
>
> P(X > 8,5) = 1 - P(X <= 8,5)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]= 1 - \Phi(\bruch{8,3-8,5}{ \wurzel{1,5}}) = 1 - 1 + 0,536 = 0,536[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Im Zähler solltest Du die beiden Zahlen gerade tauschen. Denn Du musst ja den Erwartungswert, also 8.3 abziehen.
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fahrzeug
> A auf einer 100-km-Fahrt weniger als Fahrzeug B
> verbraucht?
>
> Muß ich hier vielleicht die beiden Normalverteilungen
> Subtrahieren? Also marke
>
> N(-0,4;0,2) = N(7,9;1,7) - N(8,3;1,5)
So darf man das nicht machen! Für den Erwartungswert stimmt das zwar, aber für die Varianz gilt nicht $Var(X-Y)=Var(X)-Var(Y)$. Stell Dir vor, Du hättest die Differenz andersherum gebildet, dann wäre die Varianz ja negativ [blitz]. Es gilt:
[mm]Var(X-Y)=Var(X)+Var(-Y)=Var(X)+(-1)^2Var(Y)=Var(X)+Var(Y).[/mm]
Tatsächlich stimmt es auch, dass die Summe aus normalverteilten Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist, wenn die beiden Zufallsvariablen unabhängig sind. Dass sie das sind, kann man zwar der Aufgabe nicht direkt entnehmen, aber warum sollte der Benzinverbrauch des einen Autos denjenigen des anderen auch beeinflussen? Also mit diesen Hinweisen solltest Du die Verteilung von $X-Y$ bestimmen können (aber schreib es besser nicht so auf, wie Du es oben machen wolltest  ).
> und dann damit weiterrechnen:
>
> P(X <= 0)
> [mm]= \Phi(\bruch{-0,4-0}{ \wurzel{0,2}}) = 1 - 0,813 = 0,187[/mm]
Vorgehensweise OK, ist dann eben nur entsprechend zu korrigieren.
Viele Grüße
Brigitte
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