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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Aufgabe für Lea
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Aufgabe für Lea: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Do 15.05.2003
Autor: Stefan

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte P(-3;5;3) sowie die Geraden g und h durch

g : x = (0 3 1) + r * (-1 1 0,5)

und

h : x = (-2 2 -1) + s * (0,5 -0,5 2)

gegeben.

a) Weisen Sie nach, dass der Punkt nicht auf der Geraden g liegt. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, die durch den Punkt P und die Gerade g festgelegt ist.

b) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind und ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander verlaufen.

c) Die Gerade h durchstößt die Ebene E (aus Teilaufgabe a)) im Punkt D. Ermitteln Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes D!

d) Eine Gerade k verläuft durch den Punkt P und schneidet die Gerade g im Punkt S(-2;5;2). Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden k und g!

e) Gegeben ist der Punkt Q(-8/3; 17/3; 7/3). Zeigen Sie, dass das Dreieck PQS gleichschenklig und rechtwinklig ist!

f) Parallel zu der Strecke PQ verläuft durch den Punkt S die Gerade t. Geben Sie für t eine Gleichung an! Für welche Punkte U und V auf der Geraden t beträgt der Flächeninhalt der Trapeze PQSU und PQVS jeweils 2 FE? Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte U und V!

Viel Spaß!!
Stefan


        
Bezug
Aufgabe für Lea: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Do 15.05.2003
Autor: Lea

Hallo Marc,

das wäre ganz toll wenn du dir das anschaust!!!!

Ich schreibe morgen nicht nur irgendeine Klausur sondern Matheabi. *zitter*

a)

-3=-r  =>r=3
5=3+r  =>r=2
3=1+0,5r  =>r=4

d.h P nicht E g

E:x=0/3/1)+r(-1/1/0,5)+s(-3/2/2)

b)
-r=-2+0,5s
3+r=2-0,5s
1+0,5r=-1+2s

s=2/3
r=-1 1/3

s und r in 1.

1 1/3 un=-1 2/3
Die Geraden sind also windschief

Die Richtungsvektore verlaufen zueinander orthogonal da gilt:
(-1/1/0,5)*(0,5/-0,5/2)=0

c)
Normalenform der Ebene x+0,5y+z=2,5

h in E:
x=-2+0,5s
y=2-0,5s
z=-1+2s

-2+0,5s+0,5(2-0,5s)-1+2s=2,5
s=2

s in g, => D(-1/1/3)


d)
k:x=(-2/5/2)+t(-1/0/1)

cos(alpha)=|(1,5)/(w(2) *1,5)|  => alpha=45°

e) PQ=(1/3 / 2/3 / -2/3)  => |PQ|=1
QS=(2/3 / -2/3 / -1/3)    =>|QS|=1
SP=(-1/0/1)

das Dreieck ist gleichschenklig da gilt:  |PQ|=|QS| und ist rechtwinklig da gilt: PQ*QS=0

f) t:x=(-2/5/2)+r(1/3 / 2/3 / -2/3)
Abgesehen davon dass ich eine Formel für den Flächeninhalt eines Trapez kenne, wüsste ich glaube ich auch sonst nicht wie das geht.




Viele Grüße,
Lea

Bezug
                
Bezug
Aufgabe für Lea: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Do 15.05.2003
Autor: Marc

Hallo Lea,

Lea schrieb:

> Ich schreibe morgen nicht nur irgendeine Klausur sondern
> Matheabi. *zitter*

Achso, ja dann ist alles klar :-)


> a)
>
> -3=-r  =>r=3
> 5=3+r  =>r=2
> 3=1+0,5r  =>r=4
>
> d.h P nicht E g

[ok]

>
> E:x=0/3/1)+r(-1/1/0,5)+s(-3/2/2)

[ok], der zweite Richtungsvektor ist die Vektor-Differenz von 0P und dem Stützvektor der Geraden g.

> b)
> -r=-2+0,5s
> 3+r=2-0,5s
> 1+0,5r=-1+2s
>
> s=2/3
> r=-1 1/3
>
> s und r in 1.

[ok]

> 1 1/3 un=-1 2/3
> Die Geraden sind also windschief

[ok]

> Die Richtungsvektore verlaufen zueinander orthogonal da gilt:
> (-1/1/0,5)*(0,5/-0,5/2)=0

[ok]

> c)
> Normalenform der Ebene x+0,5y+z=2,5

[ok]

> h in E:
> x=-2+0,5s
> y=2-0,5s
> z=-1+2s
>
> -2+0,5s+0,5(2-0,5s)-1+2s=2,5
> s=2

[ok]

> s in g, => D(-1/1/3)

[ok], aber du hast natürlich in h eingesetzt :-)

> d)
> k:x=(-2/5/2)+t(-1/0/1)

[ok] (hier hätte nur der Richtungsvektor der Geraden genügt, aber so ist es ja kaum mehr Aufwand)

> cos(alpha)=|(1,5)/(w(2) *1,5)|  => alpha=45°

[ok]

> e) PQ=(1/3 / 2/3 / -2/3)  => |PQ|=1
> QS=(2/3 / -2/3 / -1/3)    =>|QS|=1
> SP=(-1/0/1)
>
> das Dreieck ist gleichschenklig da gilt:  |PQ|=|QS| und ist
> rechtwinklig da gilt: PQ*QS=0

[ok]

> f) t:x=(-2/5/2)+r(1/3 / 2/3 / -2/3)

[ok]

> Abgesehen davon dass ich eine Formel für den Flächeninhalt
> eines Trapez kenne, wüsste ich glaube ich auch sonst nicht wie
> das geht.

Diese Formel mußt du auch benutzen, ich nehme an, du meinst diese Formel:

A = (a+c) * h / 2

Die beiden parallelen Seiten a und c in den beiden Trapezen sind c=PQ und a=SU bzw. a=VS.
Die Höhe des Trapezes ist ziemlich einfach zu berechnen, siehe Teilaufgabe e)

Der Ansatz ist nun folgender: Wir wählen einen Punkt U, so dass er einmal auf der Geraden t liegt und zum anderen die Strecke SU (bzw. US) genau so lang macht, dass der Flächeninhalt des Trapezes 2 FE beträgt.

Die erste Bedingung (U auf t) ist leicht zu erfüllen:
u = (-2; 5; 2)+r(1/3; 2/3; -2/3)

Für die zweite Bedinung berechne erst mal, wie lang die Strecke a = SU sein muß, mit diesem Ansatz:
2 = (|PQ| + a) * h /2
<=> a = ...

Jetzt muss du nur noch die Gleichung |SU| = a (mit dem u aus obiger Gleichung) nach r auflösen; zu erwarten sind zwei Lösungen.

Versuch's doch noch mal, du kannst ja wieder nachfragen. Insgesamt scheinst du doch mit der Aufgabe souverän klargekommen zu sein, finde ich gut :-)

Bis gleich hoffentlich,
Marc



Nachricht bearbeitet (05-15-03 14:05)

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Aufgabe für Lea: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 Do 15.05.2003
Autor: Lea

Hallo Marc,

stimmt, eigentlich ist das ja ganz einfach.

Für a hab ich 3 raus, somit ist die Gleichung:

3=w[(r*1/3)²+(r*2/3)²+(r*2/3)²]
3=w[1/9 r²+4/9 r²+4/9 r²]
3=w[r²]
r1=3
r2=-3

u=(-2/5/2)+3(1/3 / 2/3 / -2/3)
U(-1/7/0)

v=(-2/5/2)-3(1/3 / 2/3 / -2/3)
V=(-3/3/4)

Stimmt das????????

Viele Grüße und danke für deine Hilfe,
Lea

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Aufgabe für Lea: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Do 15.05.2003
Autor: Marc

Hallo Lea,

> stimmt, eigentlich ist das ja ganz einfach.

Siehste :-)

> Für a hab ich 3 raus, somit ist die Gleichung:

ich auch.

> 3=w[(r*1/3)²+(r*2/3)²+(r*2/3)²]
> 3=w[1/9 r²+4/9 r²+4/9 r²]
> 3=w[r²]
> r1=3
> r2=-3

Richtig, super.

> u=(-2/5/2)+3(1/3 / 2/3 / -2/3)
> U(-1/7/0)

[ok]

> v=(-2/5/2)-3(1/3 / 2/3 / -2/3)
> V=(-3/3/4)

[ok]

> Stimmt das????????

Ja, es stimmt alles [happy]

Alles weitere heute Abend und falls nicht, wünsche ich dir nochmal viel Glück und Erfolg für deine Mathe-Abi-Klausur morgen! Ich habe ein gutes Gefühl bei dir :-), kein Grund zur Aufregung also.

Alles Gute,
Marc


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Aufgabe für Lea: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Do 15.05.2003
Autor: Lea

Hallo Marc,

danke für deine Hilfe.

jetzt ärger ich mich nur dass ich da nicht von selbst drauf gekommen bin.


Viele Grüße,
Lea

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