Aufgabe mit Satz von Liouville < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] eine nichtkonstante, holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass für
jedes w [mm] \in \IC [/mm] ein Folge [mm] (z_{n})_{n\IN} [/mm] existiert, so dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(z_{n}) [/mm] = w gilt.
Verwenden Sie den Satz von Liouville. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Da die Letzten Tipps mir bei der Beantwortung g der Fragen und dem Verständnis der Lösung sehr geholfen haben und mir der Umgang mit der Mathematik im Allgemeinen etwas Probleme bereitet möchte ich hier nun eine weitere Aufgabe anfügen, die mir Probleme bereitet. Auch wollte ich mich nochmal für die zuletzt geleistete Hilfe bedanken.
Verwenden Sie den Satz von Liouville.
Da die Letzten Tipps mir bei der Beantwortung g der Fragen und dem Verständnis der Lösung sehr geholfen haben und mir der Umgang mit der Mathematik im Allgemeinen etwas Probleme bereitet möchte ich hier nun eine weitere Aufgabe anfügen, die mir Probleme bereitet. Auch wollte ich mich nochmal für die zuletzt geleistete Hilfe bedanken.
Der Satz von Liouville ist angegeben mit : f : [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC
[/mm]
eine ganze Funktion, sei n [mm] \in \IN [/mm] und seien M,N > 0 so, dass |f(z)| [mm] \le M|z|^{n} [/mm] für alle z [mm] \IC [/mm] mit
|z| > N. Dann ist f ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n.
Man soll nun damit zeigen, dass es zu jeden w [mm] \in \IC [/mm] eine Folge in [mm] \IC [/mm] gibt, sodass "für
jedes w [mm] \in \IC [/mm] ein Folge [mm] (z_{n})_{n\IN} [/mm] existiert, so dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(z_{n}) [/mm] = w gilt.".
Meiner Überlegung nach muss man also Geschickt irgendeine Folge finden und für diese eines der Konvergenzkriterien so anwenden, dass gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(z_{n}) [/mm] = w.
Die Folge muss Logischerweise irgendwie mit dem Satz von Liouville in Zusammenhang stehen.
Dies bereitet mir aber Probleme, da ich mich schwertue aus diesen Satz irgendeine Folge (für alle w bzw. für irgend ein w) abzuleiten.
Ich vermute, dass der Hinweis auf die Abzuleitende Folge schon im Satz selbst deutlich steckt, ich verstehe aber den Satz von Liouville nicht wirklich. Also seine Anwendung/Folgerung.
Das dieser scheinbar auch etwas mit dem Fundamentalsatz der Algebra konnte ich auf Wikipedia lesen, Wikipedia konnte mir aber auch nicht wirklich weiterhelfen.
Ich konnte bezüglich ganzer Funktion auf Wikipedia lesen „Jede ganze Funktion kann als eine überall konvergierende Potenzreihe um ein beliebiges Zentrum dargestellt werden“, also deutend das ja darauf hin, dass die gesuchte Folge die Glieder der Potenzreihe womöglich sein könnten. Ob dies in Bezug auf die gesuchte Folge zutrifft und wenn ja wie man das zeigt, weiß ich nicht wirklich.
Ich bedanke mich schon mal im Voraus.
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Sa 04.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei f : [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm] eine nichtkonstante, holomorphe
> Funktion. Zeigen Sie, dass für
> jedes w [mm]\in \IC[/mm] ein Folge [mm](z_{n})_{n\IN}[/mm] existiert, so
> dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(z_{n})[/mm] = w gilt.
> Verwenden Sie den Satz von Liouville.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> Da die Letzten Tipps mir bei der Beantwortung g der Fragen
> und dem Verständnis der Lösung sehr geholfen haben und
> mir der Umgang mit der Mathematik im Allgemeinen etwas
> Probleme bereitet möchte ich hier nun eine weitere Aufgabe
> anfügen, die mir Probleme bereitet. Auch wollte ich mich
> nochmal für die zuletzt geleistete Hilfe bedanken.
> Verwenden Sie den Satz von Liouville.
> Da die Letzten Tipps mir bei der Beantwortung g der Fragen
> und dem Verständnis der Lösung sehr geholfen haben und
> mir der Umgang mit der Mathematik im Allgemeinen etwas
> Probleme bereitet möchte ich hier nun eine weitere Aufgabe
> anfügen, die mir Probleme bereitet. Auch wollte ich mich
> nochmal für die zuletzt geleistete Hilfe bedanken.
>
> Der Satz von Liouville ist angegeben mit : f : [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm]
> eine ganze Funktion, sei n [mm]\in \IN[/mm] und seien M,N > 0 so,
> dass |f(z)| [mm]\le M|z|^{n}[/mm] für alle z [mm]\IC[/mm] mit
> |z| > N. Dann ist f ein Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] n.
Das ist nicht der Satz von Liouville, sondern eine Folgerung daraus.
Liouville: ist f ganz und beschränkt, so ist f konstant.
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> Man soll nun damit zeigen, dass es zu jeden w [mm]\in \IC[/mm] eine
> Folge in [mm]\IC[/mm] gibt, sodass "für
> jedes w [mm]\in \IC[/mm] ein Folge [mm](z_{n})_{n\IN}[/mm] existiert, so
> dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(z_{n})[/mm] = w gilt.".
>
> Meiner Überlegung nach muss man also Geschickt irgendeine
> Folge finden und für diese eines der Konvergenzkriterien
> so anwenden, dass gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(z_{n})[/mm]
> = w.
> Die Folge muss Logischerweise irgendwie mit dem Satz von
> Liouville in Zusammenhang stehen.
> Dies bereitet mir aber Probleme, da ich mich schwertue aus
> diesen Satz irgendeine Folge (für alle w bzw. für irgend
> ein w) abzuleiten.
> Ich vermute, dass der Hinweis auf die Abzuleitende Folge
> schon im Satz selbst deutlich steckt, ich verstehe aber den
> Satz von Liouville nicht wirklich. Also seine
> Anwendung/Folgerung.
>
> Das dieser scheinbar auch etwas mit dem Fundamentalsatz der
> Algebra konnte ich auf Wikipedia lesen, Wikipedia konnte
> mir aber auch nicht wirklich weiterhelfen.
>
> Ich konnte bezüglich ganzer Funktion auf Wikipedia lesen
> „Jede ganze Funktion kann als eine überall
> konvergierende Potenzreihe um ein beliebiges Zentrum
> dargestellt werden“, also deutend das ja darauf hin, dass
> die gesuchte Folge die Glieder der Potenzreihe womöglich
> sein könnten. Ob dies in Bezug auf die gesuchte Folge
> zutrifft und wenn ja wie man das zeigt, weiß ich nicht
> wirklich.
>
> Ich bedanke mich schon mal im Voraus.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
Nimm an , die zu beweisende Aussage sei falsch. Dann ist die offene Menge [mm] $\IC \setminus \overline{f(\IC)}$ [/mm] nicht leer. Alao enthält diese Menge einen Punkt [mm] w_0 [/mm] und es gibt ein r>0 mit
$ [mm] \{w \in \IC:|w-w_0|
Es folgt:
[mm] $|f(z)-w_0| \ge [/mm] r$ für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Betracht Du nun die Funktion [mm] h(z):=\bruch{1}{f(z)-w_0}.
[/mm]
Welche Eigenschaften hat sie ?
Zeige damit, dass f konstant ist.
fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mo 06.06.2016 | | Autor: | Orkan5452 |
Besten dank ^^
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