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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Aufgabe mit ln-keine ahnung:(
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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: hilfe bei der aufgabenlösung
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:37 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

Aufgabe
f(x) = x²(ln x - 0,5)

hallo liebes forum,

ich habe ein riesenproblem: ich bin leider nicht das geborene mathe genie, und habe deshalb in der klausur leider 0 punkte geschrieben :( jetzt hat mir die lehererin, um meine mündliche note festzustellen, eine aufgabe gegeben, die ich morgen an der tafel vorrechnen muss. leider habe ich fast keine ahnung wie ich die lösen soll, und suche nun euere hilfe.
vll gibt es hier jemand, der das machen kann, ich werde mich bei demjenigen auf jeden fall mit einer netten sache bedanken.
aufgabe hab ich oben in das feld eingegeben, ich muss folgendes machen:
Def. Menge bestimmen, Symetrie bestimmen, steigen und fallen, extrempunkte, die krümmung,flach bzw. wendepunkte, das verh. an den def grenzen und schließlich den graph zeichnen.

es wäre furchtbar toll wenn mir jemand helfen kann, ich möchte des jahr ned nochmal machen :(((

ganz liebe grüße
vom
münchner

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Di 31.01.2006
Autor: kunzm

tach,

ein paar tips hab ich schon mal vorweg, aber ein bisschen was wirst Du auch dazu beitragen müssen...

1. Definitionsmenge

[mm] $x^2$ [/mm] ist definiert auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] also unkritisch. Der [mm] $\ln$ [/mm] ist nicht definiert auf dem Intervall [mm] $]-\infty,0]$. [/mm] Also wo könnte die Funktion definiert sein?

2. Monotonie bzw das verhalten "steigen/fallen" und Extrema erhältst du aus der ersten Ableitung, Wendepunkte und Krümmung aus der zweiten. Da solltest Du wenigstens mal einen Versuch abliefern, was die Ableitungen angeht.

3. Grenzwert

Mal soviel, wenn einer der beiden Faktoren gegen Null, und der Andere gegen z.B. minus Unendlich geht, überwiegt "Unendlich". Wie könnten also die Grenzwerte aussehen, wenn sich x an die Ränder des Definitionsbereiches annähert?


L.G.M.

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

1. Ableitung müsste dann nach meinem wissen sein:
f'(x) = 2x * (ln * 0,5) + x² * 1 durch x

stimmt das?

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Di 31.01.2006
Autor: kunzm

Fast,

es ist gemäss Kettenregel:

[mm] $(x^2\ln(x-0,5))'=2x\ln(x-0,5)+x^2\frac{1}{x-0,5}$ [/mm]

Wenn Du diesen Ausdruck jetzt gleich Null setzt, erhältst du nach auflösen die x-Koordinate deiner Extrempunkte. Wenn Du dieses x dann in die Ausgangsgelichung f(x) einsetzt, hast du die/das Extrema lokalisiert. Funktioniert bei den Wendepunkten genauso nur mit der 2. Ableitung.

Wenn Du jetzt das Vorzeichen dieser 1.  Ableitung betrachtest (die ja die Steigung repräsentiert), stells Du fest, dass es immer positiv ist für alle x aus dem Definitionsbereich. Das heißt also, die Funktion ist auf dem Definitionsbereich monoton.....steigend/fallend?

L.G.M.



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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

zu 1.: dann dürfte D = [mm] ]0;-\infty] [/mm] sein, oder?

zu 2.: bin grad dabei

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Di 31.01.2006
Autor: Herby

Hallo Münchner,

und herzlich [willkommenmr]


> zu 1.: dann dürfte D = [mm]]0;-\infty][/mm] sein, oder?

genau nicht, da [mm] \red{ln (x)} [/mm] hier nicht definiert ist.

Aber das war wahrscheinlich nur ein Tipfehler, oder???


Liebe Grüße
Herby

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

hallo herby!

danke dir! ja, das war gott sei dank nur ein tippfehler ich meine natürlich von ]0;+undendlich]

das stimmt jetzt oder?
danke^^

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Di 31.01.2006
Autor: kunzm

viel besser :-)

L.G.M.

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Di 31.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Münchner, hier ein Berliner ;-) ...

[willkommenmr] !!


Den Definitionsbereich hast Du ja nun mit [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR^+ [/mm] \ = \ [mm] \left] \ 0; \ +\infty \ \right[$ [/mm] .


Bei Symmetrie unterscheidet man in der Regel lediglich zwischen Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Beides braucht hier nicht weiter betrachtet zu werden, da diese Funktion lediglich für positive $x_$-Werte definiert ist (ich kann also gar keine negativen Werte für den Symmetrienachweis einsetzen).


Für die Monotoniebereiche, Extremstellen, Wendestellen und Krümmungsbereiche benötigen wir nun die ersten beiden Ableitungen dieser Funktion.

$f(x) \ = \ [mm] x^2*\left[\ln(x)-\bruch{1}{2}\right] [/mm] \ = \ [mm] x^2*\ln(x)-\bruch{1}{2}*x^2$ [/mm]


Dafür benötigen wir für den ersten Term die MBProduktregel.


Um Deine Ergebnisse zu überprüfen, hier mal die Kurve der Funktion:

[Dateianhang nicht öffentlich]


Etwas knifflig könnte hier noch das Verhalten an den Definitionsrändern, insbesondere für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ werden.

Kennst Du denn den MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital ? Den kann man für den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}f(x)$ [/mm] sehr gut gebrauchen ...


So, nun bist Du dran und liefere mal zumindest die Ableitungen bzw. sogar noch mehr ;-) ...


Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

hallo berliner,

vielen lieben dank auch für deine hilfe!

dank kunzm hab ich jetzt auch die erste ableitung völlig richtig. danke^^

und die 2. ableitung :
2x abgeleitet gibt 1 also fällts raus ln x -0.5 bleibt stehen ... + 2 x mal eins durch x      +  2x  mal  1 durch x      +   die ableitung von 1 durch x (weiss leider ned, was des is :( ) mal  x hoch 2... müsste die 2 ableitung sein... oder??

jetzt versuch ich dann mal des mit der 1. ableitung mit den extremstellen etc...


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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: nicht wirklich -- edit --
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Di 31.01.2006
Autor: Herby

Hallo muenchner,

so einfach ist das nicht!

2x abgeleitet ergibt erstens nicht 1 sondern 2 und außerdem steht in der Klammer auch noch ein x, so dass auch hier die MBProduktregel angewendet werden muss.

Versuche auf folgendes Ergebnis zu kommen und teile uns bitte deine Schritte mit (auch wenn es nicht klappt):

[mm] f''(x)=2*ln(x-0,5)-\bruch{x²}{(x-0,5)²}+\bruch{4x}{x-0,5} [/mm]

Liebe Grüße
Herby

-----------------------------------------------------------------------------
edit: trotzdem sind Schritte immer besser als nur die Lösung

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Rückfrage zur Funktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Di 31.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Münchner!


Wie genau lautet Deine Funktion?


$f(x) \ = \ [mm] x^2*\left[\ln(x)-\bruch{1}{2}\right]$ [/mm]

oder

$f(x) \ = \ [mm] x^2*\ln\left(x-\bruch{1}{2}\right)$ [/mm]

Gehört das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] noch zum Argument des Logarithmus oder nicht?


Meine Angaben beziehen sich nämlich au die erste Variante und die Ableitung von kunzm auf die zweite ...


Gruß
Loddar


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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

hallo!

im buch steht: f(x) = x² (ln x - 0,5);



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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: "meine" Version
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Di 31.01.2006
Autor: Loddar

Hallo ...


Das entspricht also meiner Version! Damit sind die Korrekturen zu den Ableitungen durch kunzm und Herby mehr oder minder hinfällig!


Gruß
Loddar


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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:24 Di 31.01.2006
Autor: Herby

gebongt, dann halt nicht ;-)

Lg
Herby

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

hi,

stimmt die 2. ableitung von herby denn?

lg

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Di 31.01.2006
Autor: kunzm

Um das mit den Ableitungen zu beschleunigen:

[mm] $f(x)=x^2(\ln [/mm] x-0,5)$,

[mm] $f'(x)=2x(\ln x-0,5)+x^2\frac{1}{x}$ [/mm]

[mm] $f''(x)=2(\ln x-0,5)+2x\frac{1}{x}+1$ [/mm]
[mm] $=2\ln [/mm] x+2$

Das sollte jetzt stimmen.

Die Extrema erhältst du (wenn vorhanden) durch  Nullsetzen der ersten Ableitung, die Wendepunkte durch Nullsetzen der 2.



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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

danke dir!

mein größtes problem ist jetzt noch das verhalten an den def. grenzen.

wie komm ich da auf eine lösung?

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 Di 31.01.2006
Autor: kunzm

Na ja,

wenn du x gegen unendlich laufen lässt, geht sowohl [mm] $x^2$ [/mm] als auch der [mm] $\ln$ [/mm] gegen unendlich, ist klar wohin der Grenzwert dann geht?

Wenn du x gegen Null laufen lässt, kannst du eines Tricks bedienen (ln-Regeln):

Es gilt:

[mm] $a\ln x=\ln x^{a}$ [/mm]

also auch [mm] $x^2\ln x=\ln x^{x^2}=\ln x^{2x}$ [/mm]

wenn du x jetzt gegen Null laufen lässt, was ergibt dann [mm] "$0^0$"?. [/mm]

Damit dürfte das auch klar sein, oder?

L.G.M.

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Di 31.01.2006
Autor: muenchner

wenn du x gegen unendlich laufen lässt, geht sowohl  als auch der  gegen unendlich, ist klar wohin der Grenzwert dann geht?

--> gegen unendlich, oder?

wenn du x jetzt gegen Null laufen lässt, was ergibt dann ""?.

--> 0?

wie schreibe ich das ganze denn jetzt in korrekter form auf?

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 Mi 01.02.2006
Autor: kunzm

[mm] $\lim\limits_{x->\infty}f(x)=\infty$, [/mm] ich finde das ist offensichtlich, da der ln für [mm] $x->\infty$ [/mm] nach unendlich geht und ebenso [mm] $x^2$. [/mm]

Für $x->0$ würde ich schreiben:

[mm] $\lim\limits_{x->0}f(x)=\lim\limits_{x->0}(x^2\ln x-0,5x^2)=0$ [/mm]

Da gilt [mm] $\lim\limits_{x->0}x^2\ln x=\lim\limits_{x->0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}}=(l'Hopital)=\frac{1}{x}\,\frac{1}{\frac{1}{(-2x^3)}}=\lim\limits_{x->0} -2x^2=0$, [/mm]

der zweite Summand wird ebenfalls Null, das ist wieder offensichtlich würde ich sagen.
Das müsste reichen,

L.G.M.





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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:56 Mi 01.02.2006
Autor: muenchner

danke euch allen, die ihr mir geholfen habt!!!!

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Einwand
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:46 Mi 01.02.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen Martin!


> also auch [mm]x^2\ln x=\ln x^{x^2}=\ln x^{2x}[/mm]
>  
> wenn du x jetzt gegen Null laufen lässt, was ergibt dann
> "[mm]0^0[/mm]"?.

Zum ersten ist der letzte Schritt der Umformung falsch, da in der Regel gilt: [mm] $x^{x^2} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] x^{2x}$ [/mm] !!

Zum anderen ist der Ausdruck [mm] "$0^0$" [/mm] unbestimmt, der sich so ohne weiteres nicht vorhersagen lässt (de l'Hospital).

Hier verweise ich auf die nächste Antwort von Dir, in der Du das richtig hergeleitet und dargestellt hast.


Gruß
Loddar


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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: nein!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:58 Mi 01.02.2006
Autor: Herby

Guten Morgen [kaffeetrinker],

> hi,
>  
> stimmt die 2. ableitung von herby denn?
>  
> lg

.......... nein, außer wir hätten so weiter gemacht wie hier <-- click it



Liebe Grüße
Herby


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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Loddar hat recht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:25 Di 31.01.2006
Autor: kunzm

Mein Fehler,

sorry Loddars Ableitung trifft Dein Problem. Meine nicht.

[mm] $f'(x)=2x(\ln x-0,5)+x^2\frac{1}{x}$ [/mm] ist richtig!

L.G.M.

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:27 Mi 01.02.2006
Autor: muenchner

hallo,

danke für euere hilfe bis jetzt! ich habe die ableitungen, siehe unten, die def menge, und weiss dass die symetrie nicht existiert.
allerdings komme ich nicht auf die nullstellen, extrema, wendepunkte, monotonie :((((
kann mir irgendjemand vll die lösung von denen schreiben, ich verwechsel nämlich immoment alles und komm nicht mal mehr zu halbwegs plausiblen ergebnissen :((
danke!

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Aufgabe mit ln-keine ahnung:(: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Mi 01.02.2006
Autor: Herby

Hallo,

>  allerdings komme ich nicht auf die nullstellen, extrema,
> wendepunkte, monotonie :((((

nicht so viel auf einmal - Stück für Stück

>  kann mir irgendjemand vll die lösung von denen schreiben,
> ich verwechsel nämlich immoment alles und komm nicht mal
> mehr zu halbwegs plausiblen ergebnissen :((
>  danke!

dann fangen wir halt von vorne an, kein Problem :-)

Wir haben eine Funktion $ f(x)=x²(ln x-0,5) $

Nullstellen:

wann gilt f(x)=0?

na, wenn einer der Faktoren Null ist - wie lauten die Faktoren?



Bis hier,


Liebe Grüße
Herby


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