Aufgabe mit vermischtem Inhalt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Squirl |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=2*e^x-e^{2*x} [/mm] . Ihr Schaubild sei die Kurve K.
a) Untersuchen sie K auf Asymptoten sowie Hoch-, Tief- und Wendepunkte und die Schnittpunkte mit den Achsen. Zeichenen sie K und die Asymptote.
b) Die x-Achse, die y-Achse, die Kurve K und die gerade mit der Gleichung x=z mit z<0 schließen eineFläche ein. Berechnen sie dessen Inhalt A(z) und den Grenzwert des Flächeninhalts für z [mm] \to -\infty
[/mm]
c) Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = [mm] 2*e^x. [/mm] Ihr Schaubild ist die Kurve C. Zeichnen Sie C in das Schaubild von Teilaufgabe a) ein. Die Gerade x=u mit u<0 schneidet die Kurve K im Punkt P und die Kurve C im Punkt Q. Der Ursprung O sowie die Punkte P und Q bilden ein Dreieck. Berechnen sie den Inhalt des Dreiecks OPQ in Abhängigkeit von u. Bestimmen sie u so, dass der Inhalt des Dreiecks maximal wird.
d) Diey-Achse, die x-Achse und die Kurve K begrenzen eine Fläche. Bestimmen sie diese Fläche. |
Einen schönen Tag.
Die Aufgabe oben ist eine Aufgabe, die meine Gruppe bearbeiten soll allerdings hängen wir an einigen Stellen fest. Wäre wirklich super, wenn ihr usn da ein wenig unter die Arme greifen könntet.
Folgendes haben wir schon erarbeitet:
a) Schnittpunkt der y-Achse ist bei 1
die erste Ableitung heißt: f'(x)= [mm] 2*e^x [/mm] - [mm] 2*e^{2*x}
[/mm]
die zweite Ableitung heißt: f''(x)= [mm] 2*e^x [/mm] - [mm] 4*e^{2*x}
[/mm]
es gibt eine Nullstelle bei: ln(2)
Die Frage ist, wie man die Asymptote berechnet! Gezeichnet haben wir bereits
b) hier sind wir leider ratlos, was wir tun sollen um die Fläche zu berechnen
c) wir haben bereits gezeichent und haben festgestellt, dass die Kurven ab X= -1 identisch sind. Durch den Rest der Aufgabe steigen wir allerdings nicht durch
d) Hier haben wir als Fläche [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Falls jemand nachrechnen möchte
Wäre wirklich super, wenn uns jemand helfen könnte.
Ich / Wir wünschen den Usern noch einen schönen Tag und danke schonmal.
VG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Squirl |
a) Ok also eine H.P liegt bei x=1 vor und nach unseren berechnungen gibt es eine Wendestelle bei ln [mm] (\bruch{1}{2})
[/mm]
Das mit der Asymptote ist uns allerdings immernoch nicht klar wobei der wert immer kleiner wird, wenn x gegen [mm] +\infty [/mm] strebt
b) Dann wäre der Flächeninhalt 2 - [mm] 2*e^z [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*e^{2*z} [/mm] groß. Kann das sein?
wenn z gegen [mm] -\infty [/mm] strebt, dann vergrößert sich die Fläche. Oder was ist da gemeint?
c folgt noch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Squirl!
> c) wir haben bereits gezeichent und haben festgestellt,
> dass die Kurven ab X= -1 identisch sind.
Das sieht aber nur so aus. Identsich werden diese nie!
Hier mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die schraffierte Fläche ist das gesuchte Dreieck. Dieses wird berechnet (als der Flächeninhalt) gemäß der Formel:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g [/mm] \ = \ [mm] \text{Grundseite} [/mm] \ [mm] \times [/mm] \ [mm] \text{Höhe}$
[/mm]
Wenn wir uns das kurze (vertikale) Stück als Grundseite wählen, erhalten wir:
[mm] $h_g [/mm] \ = \ g(u)-f(u)$ sowie $g \ = \ u-0 \ = \ u$
Nun einsetzen in die obige Formel ...
Für die maximale Fläche müsst ihr noch eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) für die Funktion $A(u)_$ durchführen.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Wie sieht es nun mit den Extremas (= Hoch- und tiefpunkte) sowie den Wendestellen aus?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da habe ich [mm] $x_H [/mm] \ = \ 0$ erhalten.
