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| Aufgabe | Sei G ein Gebiet und f : G -> [mm] \IC [/mm] eine nichtkonstante, holomorphe Funktion.
Zeigen Sie, dass die Funktion
[mm] (REf)^{4} [/mm] + [mm] (IMf)^{4} [/mm] : G -> [mm] \IR
[/mm]
kein lokales Maximum besitzt. Hierbei bezeichnen RE und IM den Real- und Imaginärteil von f.
Hinweis: Machen Sie sich klar, dass f eine offene Abbildung ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Da die Letzten Tipps mir bei der Beantwortung g der Fragen und dem Verständnis der Lösung sehr geholfen haben und mir der Umgang mit der Mathematik im Allgemeinen etwas Probleme bereitet möchte ich hier nun eine weitere Aufgabe anfügen, die mir Probleme bereitet. Auch wollte ich mich nochmal für die zuletzt geleistete Hilfe bedanken.
Auch hier bin ich sehr überfragt.
Maxima und Minima zeigt man ja mit der Ersten Ableitung, das würde also darauf hindeuten, dass hier irgendwie die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen zur Anwendung kommen müssen ?
Bzw. kann ja auch der Satz von Liouville vielleicht irgendwie angewendet werden, da dieser ja bereits bei der vorherigen Aufgabe Thema war und hier eventuell auch weiter helfen könnte?
Wie kann man den Hinweis verwenden?
Ich kann hier leider keine weiteren Vermutungen anstellen, bzw. Lösungsversuche angeben, da ich hier überhaupt keine Idee habe.
Ich würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könnt und bedanke mich schon einmal im Voraus für die Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mo 06.06.2016 | | Autor: | Jule2 |
Also ich meine mithilfe des Maximumsprinzips müsstest du diese Aufgabe lösen können!
Dafür musst du halt zuerst erklären warum f eine offene Abbildung ist!!
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 06.06.2016 | | Autor: | Orkan5452 |
Okay dankeschön^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen [mm] h:=u^4+v^4, [/mm] wobei u=Ref und v:=Imf.
Für w [mm] \in \IC [/mm] und [mm] \rho>0 [/mm] bezeichne ich die offene Kreisscheibe um w mit Radius [mm] \rho [/mm] mit K(w, [mm] \rho).
[/mm]
Sei nun [mm] z_0 \in [/mm] G und [mm] \delta [/mm] so, dass U:= [mm] K(z_0, \delta) \subseteq [/mm] G ist.
Da f offen ist, ist f(U) offen. Also ex. ein r>0 mit [mm] V:=K(f(z_0),r) \subseteq [/mm] f(U).
Sei [mm] w_0:=u(z_0)+\bruch{r}{2}+i(v(z_0)+\bruch{r}{2}) [/mm]
Zeige: [mm] w_0 \in [/mm] V.
Dann: [mm] w_0 \in [/mm] f(U).
Somit ex. ein [mm] z_1 \in [/mm] U: [mm] w_0=f(z_1)=u(z_1)+iv(z_1).
[/mm]
Es folgt:
[mm] u(z_1)=u(z_0)+\bruch{r}{2} [/mm] und [mm] v(z_1)=v(z_0)+\bruch{r}{2}.
[/mm]
Damit ist
[mm] h(z_1)=u(z_1)^4+v(z_1)^4>u(z_0)^4+v(z_0)^4=h(z_0)
[/mm]
Damit ist gezeigt:
in jeder Umgebung von [mm] z_0 [/mm] nimmt h Funktionswerte an, die > [mm] h(z_0) [/mm] sind.
FRED
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=219782&start=0&lps=1606945#v1606945