Aufgabe zu Grenzwertsätzen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Move |
| Aufgabe | Es sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] \IZ, [/mm] für die Var(X) und E(X) existieren. Weiterhin seien [mm] X_1, [/mm] ... unabhängige Kopien von X und [mm] S_n [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + ... + [mm] X_n. [/mm]
Zeigen Sie: Falls E(X) [mm] \neq [/mm] 0, dann ist [mm] P(S_n [/mm] = 0 für endlich viele n)=1 |
Hallo Leute,
Hier fehlt mir jeder Lösungsansatz. Ich vermute, dass diese Aufgabe mit den Grenzwertsätzen zu lösen ist und habe versucht, mit dem schwachen Gesetz der großen Zahl ranzugehen, aber ohne Erfolg.
Ich weiß nicht, wie man die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus der Behauptung so umformen kann, dass man irgendwie weiterkommt.
Für Hilfe wäre ich dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Move |
Ist das jetzt im Unterforum Kombinatorik gelandet? Sorry! Bitte in die Stochastik verschieben.
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Hiho,
formen wir deinen Ausdruck mal ein bisschen um:
[mm] $P(S_n [/mm] = 0 $ für endlich viele n$) = [mm] P(S_n \not= [/mm] 0$ ab einem bestimmten [mm] n_0$) [/mm] = [mm] P\left(\liminf_{n\to\infty}\{S_n \not= 0\}\right)$
[/mm]
$=1 - [mm] P\left(\left(\liminf_{n\to\infty}\{S_n \not= 0\}\right)^c\right) [/mm] = 1 - [mm] P\left(\limsup_{n\to\infty}\{S_n \not= 0\}^c\right) [/mm] = 1 - [mm] P\left(\limsup_{n\to\infty}\{S_n = 0 \}\right)$
[/mm]
Na und das sieht doch nun sehr nach Borel-Cantelli aus 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Do 19.01.2012 | | Autor: | Move |
Danke! Das ergibt natürlich Sinn. ;)
Borel-Cantelli führt zur Behauptung, weil, wenn [mm] S_i=0 [/mm] für i [mm] \in \IN, \summe_{i=1}^{\infty} P(S_i) [/mm] < [mm] \infty [/mm] sein muss, da nach dem starken Gesetz der großen Zahl [mm] P(\{\omega \in \Omega: \bruch{1}{n} S_n -> E(x)\})=1 [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] gilt und E(X) [mm] \neq [/mm] 0 nach Voraussetzung. (Was nichts anderes heißt, als dass [mm] S_n [/mm] ab einem bestimmten [mm] n_0 [/mm] von 0 verschieden sein muss. )
Richtig?
Wofür braucht man eigentlich die Voraussetzung, dass die Werte der [mm] X_i [/mm] ganze Zahlen sein müssen?
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