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| Aufgabe 1 | Sei K ein georneter Körper. Für a,b,c,d [mm] \in [/mm] K zeige man die folgende Aussage:
Wenn b,d > 0 und [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}, [/mm] dann gilt:
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a+c}{b+d} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} [/mm] |
Hallo!
Darf man das dann so machen? :
Nehmen wir [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a+c}{b+d}
[/mm]
=> [mm] \bruch{a}{b}*(d+b) [/mm] < a+c
=> [mm] \bruch{a*d + a*b}{b} [/mm] < a+c
=> [mm] \bruch{a*d}{b} [/mm] + a < a+c
=> [mm] \bruch{a*d}{b} [/mm] < c und damit ist die Voraussetzung erfüllt. Denn gilt ja [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}, [/mm] was auch bedeutet: [mm] \bruch{a*d}{b} [/mm] < c
| Aufgabe 2 | Sei K ein georneter Körper. Für a,b,c,d [mm] \in [/mm] K zeige man die folgende Aussage:
Wenn b > a > 0, dann gilt [mm] \bruch{1}{a} [/mm] > [mm] \bruch{1}{b} [/mm] > 0
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Reicht es hier aus, eine Fallunterscheidung zu machen?
Sprich:
a<b<1
b [mm] \ge [/mm] 1, a< 1
b>a [mm] \ge [/mm] 1
Und dann zu zeigen, wenn b < a < 1, dann: a = 1/c, b = 1/d, wobei c>d
usw.
Wären die beiden Lösungsvorschläge so hinnehmbar?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mi 07.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei K ein geordneter Körper. Für a,b,c,d [mm]\in[/mm] K zeige man die
> folgende Aussage:
>
> Wenn b,d > 0 und [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d},[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{a+c}{b+d}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d}[/mm]
> Hallo!
>
> Darf man das dann so machen? :
Man darf das, aber es ist nicht richtig!
> Nehmen wir [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{a+c}{b+d}[/mm]
>
> => [mm]\bruch{a}{b}*(d+b)[/mm] < a+c
> => [mm]\bruch{a*d + a*b}{b}[/mm] < a+c
> => [mm]\bruch{a*d}{b}[/mm] + a < a+c
> => [mm]\bruch{a*d}{b}[/mm] < c und damit ist die Voraussetzung
> erfüllt. Denn gilt ja [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d},[/mm] was auch
> bedeutet: [mm]\bruch{a*d}{b}[/mm] < c
Deine Umformungen sind richtig, aber du machst schlichtweg einen logischen Fehler: Du fängst mit dem an, was du beweisen willst, und folgerst, daß dann die Voraussetzung stimmt. Aber so geht das nicht! Das klassische Beispiel läuft wie folgt: Wir wollen zeigen, daß 0 = 1 ist. Wir subtrahieren auf beiden Seiten [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] also folgt [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Jetzt quadrieren wir beide Seiten, damit folgt [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] Das ist richtig, und damit haben wir unsere Aussage bewiesen!
Also, du mußt von unten nach oben, von der Voraussetzung zur Behauptung. Siehst du da ein Problem?
> Sei K ein georneter Körper. Für a,b,c,d [mm]\in[/mm] K zeige man die
> folgende Aussage:
>
> Wenn b > a > 0, dann gilt [mm]\bruch{1}{a}[/mm] > [mm]\bruch{1}{b}[/mm] > 0
>
Das verstehe ich so noch nicht, welche Rolle spielen c und d? Außerdem weiß ich nicht, was du aus der Vorlesung benutzen darfst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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