Aufgabe zu ähnlichen Dreiecken < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei ein bei C rechtwinkliges Dreieck (A,B,C). D sei der Fußpunkt der Höhe durch C auf der Seite AB.
Ermitteln Sie bezüglich eines geeignet gewählten karthesischen Koordinatensystems eine Matrix M und einen Vektor v, für die Abbildung [mm] f=F_{M,v} [/mm] (also f(X)=MX+v) die Ähnlichkeitsabbildung zwischen den Dreiecken (A,B,C) und (B,D,C) realisiert. |
Hallo,
ich komme mit dem letzten Schritt bei dieser Aufgabe nicht klar. Hier mein Ansatz:
Wähle Koordin.syst. so, dass B=(0,0); A=(a,0); [mm] C=(c_1,c_2). [/mm] Dann ist [mm] D=(c_1,0).
[/mm]
Als erstes habe ich das Dreieck dann an der x-Achse gespiegelt mit der Abbildung [mm] \varphi [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & {-1} }.
[/mm]
Dann habe ich das ganze im mathematisch neg. Sinn um den Winkel [mm] \beta [/mm] gedreht mit der Abbildung [mm] \varphi [/mm] ' = [mm] \pmat{ cos(\beta) & sin(\beta) \\ -sin(\beta) & cos(\beta) }. [/mm]
Nun müsste ich das Dreieck ja noch so stauchen, dass der Punkt A' (der gedrehte Punkt A) auf C geht und C' (der gedrehte Punkt C) auf D.
Wie komme ich auf den Stauchungsfaktor?
Vielen Dank schonmal für Hinweise!
congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mo 05.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei ein bei C rechtwinkliges Dreieck (A,B,C). D sei
> der Fußpunkt der Höhe durch C auf der Seite AB.
>
> Ermitteln Sie bezüglich eines geeignet gewählten
> karthesischen Koordinatensystems eine Matrix M und einen
> Vektor v, für die Abbildung [mm]f=F_{M,v}[/mm] (also f(X)=MX+v) die
> Ähnlichkeitsabbildung zwischen den Dreiecken (A,B,C) und
> (B,D,C) realisiert.
> Hallo,
>
> ich komme mit dem letzten Schritt bei dieser Aufgabe nicht
> klar. Hier mein Ansatz:
>
> Wähle Koordin.syst. so, dass B=(0,0); A=(a,0);
> [mm]C=(c_1,c_2).[/mm] Dann ist [mm]D=(c_1,0).[/mm]
>
> Als erstes habe ich das Dreieck dann an der x-Achse
> gespiegelt mit der Abbildung [mm]\varphi[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & {-1} }.[/mm]
>
> Dann habe ich das ganze im mathematisch neg. Sinn um den
> Winkel [mm]\beta[/mm] gedreht mit der Abbildung [mm]\varphi[/mm] ' = [mm]\pmat{ cos(\beta) & sin(\beta) \\ -sin(\beta) & cos(\beta) }.[/mm]
>
> Nun müsste ich das Dreieck ja noch so stauchen, dass der
> Punkt A' (der gedrehte Punkt A) auf C geht und C' (der
> gedrehte Punkt C) auf D.
>
> Wie komme ich auf den Stauchungsfaktor?
Hallo,
der Streckung-/Stauchungsfaktor ist das Verhältnis zweier entsprechenden Längen, z.B. das Verhältnis der Hypotenusenlängen der beiden Dreiecke. Diese betragen bei dir |a| bzw [mm] \wurzel{c_1^2+c_2^2}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank schonmal für Hinweise!
>
> congo
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Danke für Deine Antwort!
Heißt das, dass hier der Stauchungsfaktor [mm] \bruch {\wurzel{c_1^2+c_2^2}}{a} [/mm] ist?
Weil damit komme ich irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis....
Erstmal komme ich auf [mm] cos\beta=\bruch{c_1}{\wurzel{c_1^2+c_2^2}} [/mm] und [mm] sin\beta=\bruch{c_2}{\wurzel{c_1^2+c_2^2}}
[/mm]
Und dann durch "Hintereinanderschalten" der Abbildungen komme ich auf [mm] f(\vektor{x \\ y})= \pmat{ \bruch{c_1}{a} & -\bruch{c_2}{a} \\ -\bruch{c_2}{a} & -\bruch{c_1}{a} }\vektor{x \\ y}.
[/mm]
Aber der Punkt A müsste ja bsp.weise auf den Punkt C abgebildet werden und das tut ja meine Abbildung nicht....wo liegt der Fehler?
Gruß
congo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mo 05.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke für Deine Antwort!
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> Heißt das, dass hier der Stauchungsfaktor [mm]\bruch {\wurzel{c_1^2+c_2^2}}{a}[/mm]
> ist?
>
> Weil damit komme ich irgendwie nicht auf das richtige
> Ergebnis....
>
> Erstmal komme ich auf
> [mm]cos\beta=\bruch{c_1}{\wurzel{c_1^2+c_2^2}}[/mm] und
> [mm]sin\beta=\bruch{c_2}{\wurzel{c_1^2+c_2^2}}[/mm]
>
> Und dann durch "Hintereinanderschalten" der Abbildungen
> komme ich auf [mm]f(\vektor{x \\ y})= \pmat{ \bruch{c_1}{a} & -\bruch{c_2}{a} \\ -\bruch{c_2}{a} & -\bruch{c_1}{a} }\vektor{x \\ y}.[/mm]
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> Aber der Punkt A müsste ja bsp.weise auf den Punkt C
> abgebildet werden und das tut ja meine Abbildung
> nicht....wo liegt der Fehler?
Hallo,
das weiß ich nicht so genau. Ich möchte nur einiges zu bedenken geben:
1) Ich schrieb |a|, du schreibst a. Überprüfe, ob du das darfst.
2) Ein positiver Streckungsfaktor kann z.B. dann verwendet werden, wenn Original und Bild auf der GLEICHEN Seite bezüglich des Streckungszentrums liegen. Wenn du eines der beiden Dreiecke so lange drehst, bis alle seine Seiten parallel zu den Seiten des anderen Dreicks liegen, dann sind die Dreiecke auf verschiedenen Seiten des Streckungszentrums. Dein Streckungsfaktor muss sicher negativ sein.
Gruß Abakus
>
> Gruß
> congo
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