Aufgabe zu Äquivalenzrelation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mo 08.11.2010 | | Autor: | emse88 |
| Aufgabe | Sei [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe und [mm] x^{-1} [/mm] sei das Inverse zu x [mm] \in [/mm] G. Die Relation R sei gegeben durch
gRh [mm] :\gdw \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] G: [mm] x^{-1} \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] x = h
(i)Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. |
Also, zu meinem Problem. Ich weiß, wie man zeigt, dass eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, eben indem man Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigt.
Ich verstehe nur nicht, wie ich das mit der gegebenen Relation R und der Gruppe (G, [mm] \circ) [/mm] anwenden soll.
Und was bedeutet in dem Fall die Inverse [mm] x^{-1}? [/mm] Es handelt sich bei x ja wohl kaum um eine Relation.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir einer oder mehrere auf die Sprünge helfen könnten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm](G,\circ)[/mm] eine Gruppe und [mm]x^{-1}[/mm] sei das Inverse zu x
> [mm]\in[/mm] G. Die Relation R sei gegeben durch
> gRh [mm]:\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] G: [mm]x^{-1} \circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] x = h
>
> (i)Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
> Also, zu meinem Problem. Ich weiß, wie man zeigt, dass
> eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, eben indem man
> Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigt.
>
> Ich verstehe nur nicht, wie ich das mit der gegebenen
> Relation R und der Gruppe (G, [mm]\circ)[/mm] anwenden soll.
> Und was bedeutet in dem Fall die Inverse [mm]x^{-1}?[/mm] Es handelt
> sich bei x ja wohl kaum um eine Relation.
Hallo,
es handelt sich bei x haargenau um das, was dasteht...
Was steht da?
Antwort:
> gRh [mm] $:\gdw \exists$ [/mm] x [mm] $\in$ [/mm] G: [mm] $x^{-1} \circ$ [/mm] g [mm] $\circ$ [/mm] x = h
Übersetzung: zwei Elemente g und h aus der Gruppe G stehen in Relation zueinander ("gRh"), genau dann, wenn es irgendein Gruppenelement x gibt, so daß man h schreiben kann als [mm] $x^{-1} \circ$ [/mm] g [mm] $\circ$ [/mm] x, daß also [mm] $x^{-1} \circ$ [/mm] g [mm] $\circ$ [/mm] x=h ist.
Und jetzt mußt Du entscheiden, ob die Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt sind.
Reflexiv: sei [mm] g\in [/mm] G. Gilt gRg? Dh. gibt es ein Element x in G so, daß [mm] x^{-1}\circ g\circ [/mm] x=g ist?
symmetrisch:
Es gelte für [mm] g,h\in [/mm] G : gRh, dh. es gibt ein [mm] x\in [/mm] G mit [mm] x^{-1}\circ g\circ [/mm] x=h.
Gibt es dann ein [mm] y\in [/mm] G so, daß Du schreiben kannst [mm] y^{-1}\circ h\circ [/mm] y =g?
transitiv: überlegst Du selbst.
Guß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 08.11.2010 | | Autor: | emse88 |
Reflexiv: sei G. Gilt gRg? Dh. gibt es ein Element x in G so, daß x=g ist?
Also wenn man g mit x verknüpft und dann das Ergebnis nochmal mit der Inverse [mm] x^{-1} [/mm] dann kommt definitiv wieder g raus. Eigentlich trivial ^.^
Symmetrie:
Es gelte für G : gRh, dh. es gibt ein G mit [mm] x^{-1}\circ g\circ [/mm] x = h.
dann gibt es auch ein y sodass [mm] y^{-1}\circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] x = g?
Wie man das zeigen soll, ist mir noch schleierhaft.
transitiv:
Es gibt [mm] (g,h)\in [/mm] R mit [mm] x^{-1} \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] x = h
und (h,i) [mm] \in [/mm] R mit [mm] y^{-1} \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] y = i
dann muss es auch (g,i) [mm] \in [/mm] R mit [mm] z^{-1} \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] z = i geben
Ok, jetzt heißt es überlegen, wie man Symmetrie und Transitivität auch formal mit den Bedingungen zeigt.
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> > Reflexiv: sei G. Gilt gRg? Dh. gibt es ein Element x in G
> so, daß $ [mm] x^{-1}\circ g\circ [/mm] $ x=g ist?
> Also wenn man g mit x verknüpft und dann das Ergebnis
> nochmal mit der Inverse [mm]x^{-1}[/mm] dann kommt definitiv wieder
> g raus. Eigentlich trivial ^.^
Hallo,
nein, das ist überhaupt nicht trivial, und es wird i.a. nicht mit jedem beliebigen x klappen, denn es steht ja nirgends was davon , daß G abelsch ist.
Es muß aber auch nicht mit jedem beliebigen x klappen.
Wenn Du ein einziges findest, dann gilt gRg.
>
> Symmetrie:
> > Es gelte für G : gRh, dh. es gibt ein G mit
> > [mm]x^{-1}\circ g\circ[/mm] x = h.
> dann gibt es auch ein y sodass [mm]y^{-1}\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] x = g?
>
> Wie man das zeigen soll, ist mir noch schleierhaft.
Indem Du ein y vorzeigst. Tip: stell doch mal g frei...
>
> transitiv:
> Es gibtSei [mm](g,h)\in[/mm] R.
Dann gibt es ein x
> mit [mm]x^{-1} \circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] x = h
> und
Sei
>(h,i) [mm]\in[/mm] R .
Dann gibt es ein y
> mit [mm]y^{-1} \circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] y = i
Für gRi ist zu zeigen: es gibt ein z
> mit [mm]z^{-1} \circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] z = i
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mo 08.11.2010 | | Autor: | emse88 |
na dann muss ich das mal an einem Beispiel testen.
Wenn ich jetzt annehme, g,h und x sind zahlen aus [mm] \IN.
[/mm]
Wenn x jetzt z.B. 5 ist. Was ist dann [mm] x^{-1}?
[/mm]
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Hallo,
> na dann muss ich das mal an einem Beispiel testen.
> Wenn ich jetzt annehme, g,h und x sind zahlen aus [mm]\IN.[/mm]
Das ist aber doch keine Gruppe!
Bzw. ist das ohne Angabe einer Verknüpfung [mm]\circ[/mm], die [mm](\IN,\circ)[/mm] zu einer Gruppe macht, sinnlos.
Du musst doch bzgl. der Verknüpfung Inverse bilden können!
> Wenn x jetzt z.B. 5 ist. Was ist dann [mm]x^{-1}?[/mm]
Das gibt's in [mm]\IN[/mm] nicht.
Zumindest nicht für die Verknüpfungen + und [mm]\cdot{}[/mm]
Vllt. nimmst du [mm](\IZ,+)[/mm] als Gruppe, dann ist zu [mm]x\in\IZ[/mm] das Inverse [mm]x^{-1}=-x[/mm] (additiv geschrieben)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mo 08.11.2010 | | Autor: | emse88 |
Ich habs beispielhaft für Addition und Multiplikation gezeigt, aber ich weiß immer noch nicht wie ich die Verknüpfungsterme mit dem allgemeinen Verknüpfungssymbol so umforme, das ich die Äquivalenzrelation zeigen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: gRh [mm] \gdw [/mm] es ex. x [mm] \in [/mm] G mit [mm] x^{-1}gx=h
[/mm]
Warum gilt nun gRg ? Für welche x [mm] \in [/mm] G ist [mm] x^{-1}gx=g [/mm] ? Tipp: G hat ein neutrales Element.
Nun gelte gRh, also ex. ein [mm] \in [/mm] G mit [mm] x^{-1}gx=h. [/mm] Nun setze mal [mm] y:=x^{-1} [/mm] und zeige:
[mm] y^{-1}hy=g
[/mm]
Dann haben wir also hRg
Nun gelte gRh und hRk, also ex x, z [mm] \in [/mm] G mit :
[mm] x^{-1}gx=h [/mm] und [mm] z^{-1}hz=k
[/mm]
Nun berechne mal [mm] (xz)^{-1}g(xz) [/mm] . Was kommt raus ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 09.11.2010 | | Autor: | emse88 |
Also bei reflexiv habe ich geschrieben, dass das nur möglich ist, wenn x = e ist, also das neutrale Element
Bei Symmetrie habe ich [mm] x=y^{-1} [/mm] gesetzt und g in die 2. Gleichung eingesetzt. Dann kam h=h raus
Aber bei transitiv weiß ich immer noch nicht, wie ich das auflöse -.- Ich stehe da total aufm Schlauch.
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Hallo nochmal,
> Also bei reflexiv habe ich geschrieben, dass das nur
> möglich ist, wenn x = e ist, also das neutrale Element ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei Symmetrie habe ich [mm]x=y^{-1}[/mm] gesetzt und g in die 2.
> Gleichung eingesetzt. Dann kam h=h raus
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sei [mm]gRh\Rightarrow\exists x\in G[/mm] mit [mm]x^{-1}gx=h[/mm]
Nun verknüpfe diese Gleichung von links mit [mm]x[/mm] und von rechts mit [mm]x^{-1}[/mm]
Wie kannst du also [mm]\tilde x[/mm] wählen, so dass [mm]\tilde x^{-1}h\tilde x=g[/mm] ??
>
> Aber bei transitiv weiß ich immer noch nicht, wie ich das
> auflöse -.- Ich stehe da total aufm Schlauch.
Einfach auf die Def. zurückgreifen, mehr hast du ja nicht...
Sei [mm]gRh[/mm] und [mm]hRk[/mm]
Dann ex. [mm]x,y\in G[/mm] mit [mm]x^{-1}gx=h[/mm] und [mm]y^{-1}hy=k[/mm]
Stelle letzteres nach h um und setze in die 1. Gl. ein.
Wie kannst du dann [mm]z\in G[/mm] wählen mit [mm]z^{-1}gz=k[/mm], also [mm]gRk[/mm] ??
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also bei reflexiv habe ich geschrieben, dass das nur
> möglich ist, wenn x = e ist, also das neutrale Element
Das stimmt i.a. nicht ! Für die Gl.
$ [mm] x^{-1}gx=g [/mm] $
sehe ich schon mal 3 Lösungen: x=e oder x=g oder [mm] x=g^{-1}
[/mm]
Den Rest hat schachuzipus schon gesagt.
FRED
> Bei Symmetrie habe ich [mm]x=y^{-1}[/mm] gesetzt und g in die 2.
> Gleichung eingesetzt. Dann kam h=h raus
>
> Aber bei transitiv weiß ich immer noch nicht, wie ich das
> auflöse -.- Ich stehe da total aufm Schlauch.
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