Aufgabe zum Dirichletkern < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 17:10 Fr 27.02.2015 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
aufgrund gewisser Betrachtungen zur Fourierreihenberechnung ist mir
folgende Aufgabe in den Sinn gekommen, die man eigentlich sehr schön
mithilfe einer (gängigen) Formel bzgl. des Dirichletkerns lösen kann:
Es sei
[mm] $D_n(t)=\sum_{k=-n}^n \exp(j [/mm] k [mm] t)\,.$
[/mm]
Dann gilt: Für alle reellen $t [mm] \notin 2\pi*\IZ$ [/mm] der Bauart
[mm] $t=p/q*2\pi$ [/mm] (d.h. $t [mm] \in 2\pi*(\IQ\setminus \IZ)$)
[/mm]
mit o.E. $q > 0$ (d.h. $q [mm] \in \IN$; [/mm] zudem $p/q [mm] \in \IQ \setminus \IZ$) [/mm] folgt, wenn [mm] "$p/q\,$ [/mm]
in vollständig gekürzter Form vorliegt"
1. Fall: Für ungerade [mm] $q\,$ [/mm] ist [mm] $D_{\lfloor q/2\rfloor}(p/q*2\pi)=0$.
[/mm]
2. Fall: Für gerade [mm] $q\,$ [/mm] ist [mm] $D_{\lfloor q/2\rfloor}(p/q*2\pi)=-1$. [/mm] |
Hallo,
s.o..
Geometrisch kann man sich das Ganze sicher mehr oder weniger schnell
klarmachen, aber algebraisch geht es, wenn man die richtige Formel benutzt,
sicher durchaus noch eleganter. Eigentlich soll hier auch nur gerechnet werden,
d.h. es sollen keine Argumente, die rein der Anschauung entnommen sind,
verwendet werden. Und ich hoffe, dass diese Formel auch stimmt (denn
ich habe sie mir anschaulich hergeleitet, aber mit der erwähnten Formel
bisher nur *gegengetestet*, dass das, was ich auch erwarte und von
der Anschauung her sehe, passt).
Viel Spaß damit. 
P.S. Den eigentlichen Hintergrund für diese Aufgabe hat was mit
Fourierkoeffizientenberechnung zu tun. Quasi eine Verallgemeinerung
von dem, was ich hier:
https://matheraum.de/read?t=1052791
gesagt/gefragt hatte.
P.P.S. Da das eine Frage ist, die ich mir selbst zusammengebaut habe,
hoffe ich natürlich, dass sich kein Gegenbeispiel angeben läßt - falls doch,
so habe ich in einem der beiden Fällen einen Fehler gemacht. Aber Hinweise
auf derartiges sind willkommen. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:12 Fr 27.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Dies ist nur eine Dummy-Frage, auf die nicht geantwortet werden soll, damit
die Übungsaufgabe sichtbar bleibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:45 So 01.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich hatte noch ein paar Schreibfehler, durch die die ursprüngliche Aufgabe
unsinnig wurde. Jetzt sollte es passend korrigiert sein!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Mo 02.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Ist niemand interessiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Do 12.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
will niemand drüber knobeln? Klingt das so kompliziert, oder hat jemand
einen (Formulierungs-)Fehler gefunden?
Oder ist das so offensichtlich einfach?
Ist jemand an (m)einer Lösung interessiert?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
falls sich doch mal jemand für die Aufgabe interessiert der Hinweis:
Es gilt
[mm] $D_n(t)=\frac{\sin((2n+1)*t/2)}{\sin(t/2)}$
[/mm]
für alle $t$ mit [mm] $\sin(t/2) \not=0$, [/mm] und bei den reellen [mm] $t\,$ [/mm] mit [mm] $\sin(t/2)=0$ [/mm] liegt
stetige Fortsetzung vor.
Nun der Beweis der ersten Aussage:
Sei nun [mm] $t=p/q*2\pi$ [/mm] wie oben. Dann folgt damit für ungerades [mm] $q\,$
[/mm]
[mm] $D_{\lfloor q/2\rfloor}(p/q*2\pi)=D_{(q-1)/2}(p/q*2\pi)=\frac{\sin((2(q-1)/2+1)*p/q*\pi)}{\sin(p/q*2*\pi*1/2)}=\frac{\sin(p*\pi)}{\sin(p/q*\pi)}=0\,,$
[/mm]
unter Beachtung von $p/q [mm] \notin \IZ$ [/mm] und damit [mm] $\sin(p/q*\pi) \not=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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