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Forum "Schul-Analysis" - Aufgabe zur Diffrentialrechnun
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Aufgabe zur Diffrentialrechnun: Aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Mo 26.12.2005
Autor: Xavier

Aufgabe
K ist das schaubild der Funktion f mit [mm] f(x)=-1/2x^3+2x;X€R. [/mm]

a) Die Gerade mit der Gleichung x=u mit -2 <= u <= 1 schneidet K im im Punkt P und die Gerade g mit y=0,5x+1 im Punkt Q.
Für welche Wahl von u nummt die Länge der Strecke PQ ein Maximum an?

b)Für welchen Wahl von u liegt der Mittelpunkt der Strecke PQ  (P ungleich Q) auf der x Achse? Zeigen Sie, dass der negative u-Wert zwischen -1 und 0 liegt und bestimmen Sie diesen mit Hilfe eines Iterationsverfahrens auf 3 Dezimalen genau.

Hallo zusammen,

Aufgabe a) habe ich wie folgt gelöst:

Als erstes habe ich die Zielfunktion aufgestellt
L(u)= f(u)-g(u)
Aus der neuen Funktionen habe ich dann die erste Ableitung gebildet und sie gleich 0 gesetzt L'(u)=0
Die x-werte habe ich ermittelt und sie in der Hauptfunktion L(u) eingestezt um die maximale Länge zuermitteln. Die Randwerte habe ich dann auch in die L(u) eingesetzt also L(-2) und L(1). Wozu setzt man eigentlich diese Randwerte in der Hauptfuntion ein ? kann es vorkommen, das es doch nicht die größte strecke ist ?

Also in der Aufgabe b) kam ich nicht mehr weiter, weiß leider nicht wie ich u so bestimmen soll, das die Mitte der Strecke genau auf der x-Achse liegt.
Über eine Vorgehensweise würde ich mich sehr freuen.

Danke im vorraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgabe zur Diffrentialrechnun: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Di 27.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Xavier,

[willkommenmr] !!


> Aus der neuen Funktionen habe ich dann die erste Ableitung
> gebildet und sie gleich 0 gesetzt L'(u)=0
> Die x-werte habe ich ermittelt und sie in der
> Hauptfunktion L(u) eingestezt um die maximale Länge
> zuermitteln. Die Randwerte habe ich dann auch in die L(u)
> eingesetzt also L(-2) und L(1). Wozu setzt man eigentlich
> diese Randwerte in der Hauptfuntion ein ? kann es
> vorkommen, das es doch nicht die größte strecke ist ?

[daumenhoch] Völlig richtig! Mit der Berechnung der Extrema, die eine horizontale Tangente haben (also $L'(u) \ = \ 0$), erhält man lediglich die relativen Extrema.

In besonderen Fällen kann es daher sein, dass an den Definitionsrändern größere Funktionswerte (bzw. kleinere Werte bei gesuchten Minima) auftreten. Daher betrachtet man die Ränder nochmals separat.



> Also in der Aufgabe b) kam ich nicht mehr weiter, weiß
> leider nicht wie ich u so bestimmen soll, das die Mitte der
> Strecke genau auf der x-Achse liegt.

Wenn die x-Achse die betrachtete Strecke genau in der Mitte teilen soll, heißt das doch, dass die Funktionswerte der Kurve $f(u)_$ und der Gerade $g(u)_$ (betragsmäßig) gleich groß sind.

[mm] $\left| \ f(u) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ g(u) \ \right|$ [/mm]

[mm] $\left|-\bruch{1}{2}u^3+2u\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{1}{2}u+1\right|$ [/mm]

[mm] $-\left(-\bruch{1}{2}u^3+2u\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}u+1$ [/mm]

[mm] $\bruch{1}{2}u^3-2u [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}u+1$ [/mm]


Hier ist der gesuchte Wert für $u_$ nun per MBNewton-Verfahren oder []Regula Falsi zu bestimmen.


Gruß
Loddar

Bezug
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