Aufgabe zur Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Karin94 |
| Aufgabe | | Aus einer Kiste mit 20 Schrauben, von denen nur noch 15 richtig fassen, werden mit einem Griff 5 Schrauben herausgenommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man dabei nur eine schadhafte Schraube aus der Kiste? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bereite mich gerade auf das schriftliche Abi vor. Dabei bin ich auf die Aufgabe gestoßen. Ich komme nur leider nicht auf die Lösung.
Ich habe bisher versucht, die Sache als Bernoulli-Kette zu betrachten. Dabei habe ich mir gedacht, dass ich mir nur die 5 gezogenen Schrauben angucke. Davon soll eine kaputt sein. Und die Wahrscheinlichkeit, dass die Schraube kaputt ist, ist 0,25.
Das heißt ich habe gesetzt n = 5, k = 1, p = 0,25. Dann komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,3955. Das kann aber gefühlsmäßig nicht sein.
Dann habe ich überlegt, ob ich über den Hinweis "mit einem Griff" über die Kombination etwas machen kann und habe mir ausgerechnet, dass es [mm] \vektor{20 \\ 5} [/mm] = 15.504 Möglichkeiten gibt, genau eine kaputte Schraube zu ziehen. Aber damit komme ich nicht weiter.
Könnt ihr mir helfen und das Rätseln lösen? Ich stehe echt auf dem Schlauch.
Danke schön!
Grüße Karin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Aus einer Kiste mit 20 Schrauben, von denen nur noch 15
> richtig fassen, werden mit einem Griff 5 Schrauben
> herausgenommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man
> dabei nur eine schadhafte Schraube aus der Kiste?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
>
> Ich bereite mich gerade auf das schriftliche Abi vor. Dabei
> bin ich auf die Aufgabe gestoßen. Ich komme nur leider
> nicht auf die Lösung.
>
> Ich habe bisher versucht, die Sache als Bernoulli-Kette zu
> betrachten.
Das ist grundsätzlich falsch, und zwar aus folgendem Grund:
Bei Bernoulli-Ketten wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei jeder Durchführung des Experimentes gleich bleibt.
Das ist hier aber nicht der Fall. Beim ersten Zug ist die W., eine defekte Schraube zu ziehen, in der Tat 0,25, beim zweiten aber abhängig davon, ob eine brauchbare oder eine unbrauchbare Schraube gezogen wurde, dann eben 5/19 oder 4/19. Du müsstest also stattdessen einen fünfstufigen Baum zeichnen mit allen (sich dauernd ändernden) Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe und damit die gesuchte W. berechnen.
Wenn es sich um sehr große Schraubenanzahlen handelt (was immer das heißen mag), dann kann diese hypergeometrische Verteilung näherungsweise durch die Binomialverteilung ersetzt werden, weil dann die Entnahme weniger Schrauben die Verhältnisse nicht wesentlich ändert und die Einzelwahrscheinlichkeiten nahezu konstant bleiben.
> Dabei habe ich mir gedacht, dass ich mir nur
> die 5 gezogenen Schrauben angucke. Davon soll eine kaputt
> sein. Und die Wahrscheinlichkeit, dass die Schraube kaputt
> ist, ist 0,25.
> Das heißt ich habe gesetzt n = 5, k = 1, p = 0,25. Dann
> komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,3955. Das kann
> aber gefühlsmäßig nicht sein.
Da hast du ein ausgesprochenes Feingefühl, denn die wirkliche W. weicht davon um weniger als 5 Prozentpunkte ab.
> Dann habe ich überlegt, ob ich über den Hinweis "mit
> einem Griff" über die Kombination etwas machen kann und
> habe mir ausgerechnet, dass es [mm]\vektor{20 \\ 5}[/mm] = 15.504
> Möglichkeiten gibt, genau eine kaputte Schraube zu ziehen.
Diese Idee kann man weiter verfolgen.
Allerdings ist [mm] \vektor{20 \\ 5} [/mm] nicht die Anzahl der Möglichkeiten, eine kaputte Schraube zu ziehen, sondern die Gesamtzahl der Möglichkeiten, irgendwelche 5 aus 20 Schrauben zu ziehen.
Das ist der Nenner einer nach Laplace zu berechnenden Wahrscheinlichkeit.
Der Zähler ist die Anzahl der "günstigen Fälle", also derjenigen Griffe, bei denen genau eine defekte (aus den 5 defekten) und vier brauchbare (aus den 15 brauchbaren) Schrauben gezogen wird. Diese Anzahl lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Binomialkoeffizienten ausdrücken.
> Aber damit komme ich nicht weiter.
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> Könnt ihr mir helfen und das Rätseln lösen? Ich stehe
> echt auf dem Schlauch.
>
> Danke schön!
> Grüße Karin
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Karin94 |
Hallo Sax!
Vielen Dank für die Antwort! Das hilft mir schon mal weiter.
Ich hatte das Bernoulli-Experiment genommen, weil ich dachte, dass sich durch die Ziehung mit einem Griff die Wahrscheinlichkeit nicht geändert hat. Danke für die Aufklärung :) Die hypergeometrische Verteilung kenne ich noch nicht, gucke sie mir aber später mal an.
Achja, klar! Der Binomialkoeffizient ist die Anzahl aller Möglichkeiten. Weiß ich eigentlich. Wie blöd.
Ok, dann habe ich jetzt noch mal versucht.
Ich komme jetzt auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,4402. Dazu habe ich die Anzahl der Möglichkeiten für eine kaputte Schraube mit der Anzahl der MÖglichkeiten für eine heile Schraube multipliziert und durch alle Möglichkeiten geteilt. Also
[mm] \bruch{\vektor{5 \\ 1}\*\vektor{15 \\ 4}}{\vektor{20 \\ 5}}.
[/mm]
Stimmt das dann so? Irgendwie stehe von der Logik her bei dieser Aufgabe echt ein bisschen auf dem Schlauch.
Danke für deine Hilfe.
Grüße Karin
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Hallo Karin94,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo Sax!
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> Vielen Dank für die Antwort! Das hilft mir schon mal
> weiter.
> Ich hatte das Bernoulli-Experiment genommen, weil ich
> dachte, dass sich durch die Ziehung mit einem Griff die
> Wahrscheinlichkeit nicht geändert hat. Danke für die
> Aufklärung :) Die hypergeometrische Verteilung kenne ich
> noch nicht, gucke sie mir aber später mal an.
>
> Achja, klar! Der Binomialkoeffizient ist die Anzahl aller
> Möglichkeiten. Weiß ich eigentlich. Wie blöd.
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> Ok, dann habe ich jetzt noch mal versucht.
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> Ich komme jetzt auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,4402.
> Dazu habe ich die Anzahl der Möglichkeiten für eine
> kaputte Schraube mit der Anzahl der MÖglichkeiten für
> eine heile Schraube multipliziert und durch alle
> Möglichkeiten geteilt. Also
>
> [mm]\bruch{\vektor{5 \\ 1}\*\vektor{15 \\ 4}}{\vektor{20 \\ 5}}.[/mm]
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> Stimmt das dann so? Irgendwie stehe von der Logik her bei
> dieser Aufgabe echt ein bisschen auf dem Schlauch.
>
Ja, das stimmt so.
> Danke für deine Hilfe.
>
> Grüße Karin
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Karin94 |
Ok, vielen Dank an euch beide!
Liebe Grüße
Karin
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