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Hallo.
Ich bin eben in meinem Buch noch einmal Stetigkeit durchgegangen und bin auf folgendes Beispiel gestoßen:
h(x)={0 für [mm] x\le0 [/mm] ; [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für x>0}
-> weiß leider nicht wie man eine große, geschweifte Klammer macht :/.
Nun werden zwei Folgen gewählt:
[mm] x_{n}=\bruch{1}{n*\pi}
[/mm]
[mm] y_{n}=\bruch{2}{(4n-3)*\pi}
[/mm]
Nun gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n*\pi}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{(4n-3)*\pi}=0
[/mm]
Behauptet wird nun:
[mm] h(x_{n})=0, [/mm] jedoch [mm] h(y_{n})=1.
[/mm]
Ich verstehe nicht so ganz, wie man auf diese Lösung kommen soll.
Für jede Folge [mm] a_{n} [/mm] mit Grenzwert [mm] c\le{0} [/mm] gilt [mm] f(a_{n})=0=f(c)
[/mm]
In dem Bereich ist Funktion stetig.
Betrachtet man nun die Folgen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] und deren Grenzwert 0, so verstehe ich nicht, warum [mm] h{y_{n}}=1 [/mm] ist und [mm] h{x_{n}}=0 [/mm] ist.
Beide Folgen konvergieren gegen 0 und da beide Folgen sich von rechts annäherend (positiver Wertebereich) muss doch für beide Folgen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}h(x_{n})=h(0)=0
[/mm]
wie auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}h(y_{n})=h(0)=0 [/mm] gelten.
Ich bin etwas verwirrt und hoffe auf Hilfe.
Viele Grüße und danke :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Masseltof,
> Hallo.
>
> Ich bin eben in meinem Buch noch einmal Stetigkeit
> durchgegangen und bin auf folgendes Beispiel gestoßen:
>
> h(x)={0 für [mm]x\le0[/mm] ; [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
für x>0}
> -> weiß leider nicht wie man eine große, geschweifte
> Klammer macht :/.
Die geschweifte Klammer geht so: \{ ... \}
>
> Nun werden zwei Folgen gewählt:
>
> [mm]x_{n}=\bruch{1}{n*\pi}[/mm]
> [mm]y_{n}=\bruch{2}{(4n-3)*\pi}[/mm]
>
> Nun gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n*\pi}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{(4n-3)*\pi}=0[/mm]
>
> Behauptet wird nun:
> [mm]h(x_{n})=0,[/mm] jedoch [mm]h(y_{n})=1.[/mm]
>
> Ich verstehe nicht so ganz, wie man auf diese Lösung
> kommen soll.
>
> Für jede Folge [mm]a_{n}[/mm] mit Grenzwert [mm]c\le{0}[/mm] gilt
> [mm]f(a_{n})=0=f(c)[/mm]
> In dem Bereich ist Funktion stetig.
>
> Betrachtet man nun die Folgen [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] und deren
> Grenzwert 0, so verstehe ich nicht, warum [mm]h{y_{n}}=1[/mm] ist
> und [mm]h{x_{n}}=0[/mm] ist.
> Beide Folgen konvergieren gegen 0 und da beide Folgen sich
> von rechts annäherend (positiver Wertebereich) muss doch
> für beide Folgen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}h(x_{n})=h(0)=0[/mm]
> wie auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}h(y_{n})=h(0)=0[/mm] gelten.
Nein, das ist ein Denkfehler.
Berechne doch mal [mm]\sin\left(\bruch{1}{x_{n}}\right)[/mm] bzw.[mm]\sin\left(\bruch{1}{y_{n}}\right)[/mm]
>
> Ich bin etwas verwirrt und hoffe auf Hilfe.
>
> Viele Grüße und danke :)
Gruss
MathePower
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