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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe zur Teilbarkeit
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Aufgabe zur Teilbarkeit: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 16:03 Sa 06.11.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Rätselfreunde,

im Gegensatz zum letzten Mal möchte ich jetzt mal eine etwas einfachere Aufgabe stellen.

Beweist doch bitte folgende Aussage:

Seien Z eine natürliche Zahl und Q ihre Quersumme. Dann sind äquivalent:
(1) Z+Q ist durch 9 teilbar
(2) Z ist durch 9 teilbar

Ich freue mich auf eure Vorschläge.

Hugo

        
Bezug
Aufgabe zur Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Sa 06.11.2004
Autor: Teletubyyy

Hi
nette Aufgabe, wenn auch nicht wirklich kompliziert ;-)

Stellen wir erstmal Q und Z etwas anderst dar:
[mm]Q=\summe_{k=1}^{n}x_k[/mm] mit $ 0 [mm] \le x_k [/mm] < 10 $
[mm]Z= \summe_{k=1}^{n}x_k*10^k = \summe_{k=1}^{n}x_k*(10^k-1) + \summe_{k=1}^{n}x_k[/mm]
Mit  [mm]10-1|10^k-1^k\gdw9|10^k-1[/mm] folgt nun [mm]Z \equiv Q mod\, 9[/mm]
Und da $Z+Q [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9 \gdw [/mm] 2Z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9$ [/mm] und $ggT(2;9)=1$
ist $2Z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9 \gdw [/mm] Z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9 [/mm] $ q.e.d :-)

Ich hoffe mal, dass das soweit alles stimmt...

Gruß Samuel

Bezug
                
Bezug
Aufgabe zur Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Sa 06.11.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Samuel,

ja ich gebe zu, die Aufgabe war nicht soooo schwer.

Die extreme Kurzfassung ist:

Für jede Zahl ist die Differenz Z-Q teilbar durch 9. Deshalb sind entweder Z und Q beide durch 9 teilbar (und damit auch Z+Q) oder keines von beiden. Im zweiten Fall kann aber wegen ggT(9,2)=1 die Summe Z+Q ebenfalls nicht durch 9 teilbar sein.

Hugo

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